مفهوم الطرح في الرياضيات

عملية الطرح في الرياضيات

يمكن تعريف عملية الطرح (بالإنجليزية: Subtract) بأنها عملية رياضية يمكن من خلال التعبير عن عملية إزالة عدد معيّن من الأشياء على أرض الواقع من مجموعة تضم عدداً أكبر منها، ممّا يؤدي بالتالي إلى الحصول على عدد أقل من الأشياء في تلك المجموعة، فمثلاً يمكن التعبير عن عملية أكل ثلاث برتقالات من أصل خمس برتقالات موجودة ليتبقى برتقالتان فقط عن طريق عملية الطرح على شكل: 5 برتقالات - 3 برتقالات = 2 (برتقالتان)، ويمكن تمثيل عملية الطرح باستخدام العلاقة الآتية:

• س - ص = ل، حيث:
  • س: هو العدد المطروح منه.
  • ص: هو العدد المطروح.
  • ل: هو ناتج عملية الطرح.
  • (-): هو رمز عملية الطرح، لتُقرأ العبارة السابقة على النحو الآتي: العدد س ناقص العدد ص يساوي العدد ل.

خصائص عملية الطرح

وتجدر الإشارة هنا إلى الأمور الآتية المهمة المتعلقة بعملية الطرح:

• عملية الطرح هي عملية عكسية لعملية الجمع
• عند طرح عدد من عدد آخر أصغر منه فإن هذا يؤدي إلى الحصول على نتيجة سالبة الإشارة؛ مثل: 2 - 3 = -1؛ حيث تتم العملية بحساب الفرق بين العددين، ثم وضع الإشارة السالبة.
• عند طرح عددين متماثلين من بعضهما فإن هذا يؤدي إلى الحصول على العدد صفر في نتيجة المسألة؛ مثل: 19-19=0.
• إن أي عملية جمع يمكن تحويلها إلى عملية طرح، والمثال الآتي يوضح ذلك: عملية الجمع 3 2 = 5 يمكن أن تتحول إلى عملية طرح بطريقتين هما: 5-3=2، أو 5-2=3؛ حيث أصبح ناتج عملية الجمع هو المطروح منه، ومثّل كل من العددين الآخرين المطروح والناتج.
• عملية الطرح لا تعتبر عملية تبديلية، وذلك على عكس عملية الجمع، والمثالان الآتيان يوضحان ذلك: 3 2=5، و 3 2=5، وهذا يعني أن الجمع عملية تبديلية، وذلك لأن النتيجة كانت نفسها في الحالتين؛ أي أن نتيجة المسألة لم تختلف باختلاف ترتيب الأعداد 3-5=2، ولكنّ 3-5=-2، وهذا يعني أن الطرح عملية غير تبديلية؛ لأن النتيجة اختلفت باختلاف ترتيب الأعداد.

أمثلة حياتية على عملية الطرح

ولتوضيح مفهوم الطرح بشكل أكبر يمكن الاستعانة بالمثالين الآتيين: 

• صندوق يحتوي على 5 تفاحات، وعند أخذ حبتين من التفاح يتبقى فيه ثلاث حبات من التفاح، وعله يمكن تمثيل هذه العملية باستخدام الطرح كما يلي: 5-2= 3.
• كان في الحافلة 25 شخصاً، وعند توقفها نزل منها ثلاثة أشخاص، وعليه يمكن التعبير عن عدد الأشخاص الذين تبقوا في الحافلة باستخدام عملية الطرح كما يلي: عدد الأشخاص الذين تبقوا في الحافلة = 25 - 3= 22 شخص.

طرق إجراء عملية الطرح

يمكن إجراء عملية الطرح بعدة طرق، ومنها:

الرسم وتمثيل المسألة

وذلك باستخدام الرسم لتمثيل المسألة، وذلك كما يلي:

• يمكن إجراء عملية طرح 5 - 3 كما يلي:

1. رسم 5 دوائر OOOOO.
2. أخذ ثلاث دوائر من الدوائر السابقة ليتبقى منها دائرتان فقط OO.
3. وبالتالي فإن ناتج طرح العدد 3 من 5 يساوي 2، وذلك بعدّ الدوائر المتبقية.

خط الأعداد

استخدام خط الأعداد لإجراء عملية الطرح، وذلك كما يلي:

• يمكن إجراء عملية طرح 5 - 3 باستخدام خط الأعداد كما يلي:

1. الوقوف عند العدد المطروح منه على خط الأعداد، وهو في هذه الحالة العدد 5.
2. التحرك ثلاث خطوات إلى اليسار وهي قيمة المطروح، لنصل في هذه الحالة إلى العدد 2، وهو ناتج المسألة.
3. وبالتالي فإن عملية طرح 5-3=2، وهو العدد الذي تم الوصول إليه في الخطوة السابقة.

طرح الأعداد الكبيرة

عند طرح أعداد تتكون من منزلتين أو أكثر فإن ذلك يتطلب القيام بالخطوات الآتية:

• كتابة الأعداد بشكل عمودي فوق بعضها، وذلك بكتابة المطروح منه في الأعلى، والمطروح في الأسفل، مع مراعاة ترتيب المنازل فوق بعضها تماماً؛ أي كتابة الآحاد تحت الآحاد، والعشرات تحت العشرات، وهكذا حتى نهاية المنازل، ثم وضع خط أفقي أسفل العددين.

7 3

-

5 2

• بدء عملية الطرح من الأعداد المكتوبة على اليمين، وذلك بطرح منزلة الآحاد من منزلة الآحاد، ومنزلة العشرات من منزلة العشرت؛ أي طرح كل منزلة من المطروح من المنزلة التي تقابله في المطروح منه، وكتابة النتيجة تحتهما مباشرة تحت الخط الأفقي، ففي هذا المثال يجب طرح العدد 5 من منزلة الآحاد من العدد 7، وكتابة النتيجة وهي (2) تحتهما مباشرة، وطرح العدد 2 من العدد 3 وكتابة النتيجة وهي (1) تحتهما مباشرة، وذلك كما يلي:

7 3

-

5 2

2 1

• في بعض الأحيان وعند طرح عدد يتكون من أكثر من منزلة عددية من عدد آخر يمكن ملاحظة أن المطروح يكون أكبر من المطروح منه في القيمة، ولحل ذلك يجب الاستلاف من العدد الأقرب له من ناحية اليسار وغير المساوي للصفر، وإضافة 10 إلى العدد المستلِف، وطرح 1 من العدد الذي تم الاستلاف منه، وذلك كما يلي:

7 5

-

9 2

• ففي هذه المسألة يمكن ملاحظة أن العدد 7 في منزلة الآحاد أقل من العدد 9، وبالتالي لحل المسألة يتم استلاف عدد واحد من العدد (5) لتصبح قيمة العدد (7) تساوي (17)، وتصبح قيمة العدد (5) تساوي (4)، ثم إكمال الحل بنفس الطريقة السابقة: (17-9) يساوي (8) وكتابة الناتج تحتهما مباشرة، و(4-2) يساوي (2)، وكتابة الناتج تحتهما مباشرة، وبالتالي تصبح النتيجة 28، وذلك كما يلي:

7 5

-

9 2

8 2

طرح الأعداد السالبة

تعتبر مراعاة الإشارات عند إجراء عملية الطرح من الأمور المهمة؛ حيث يجب مراعاة إشارة كل من المطروح، والمطروح منه، حيث يؤدي وجود إشارتي الطرح بجانب بعضهما (- -) إلى تحويل هذه الإشارات إلى إشارة جمع، وذلك كما في الحالات الآتية:

• إذا كانت إشارة المطروح سالبة وإشارة المطروح منه موجبة، فإن ذلك يؤدي إلى تحويل المسألة إلى عملية جمع؛ وذلك كما يلي:
• 7 - (-3)= ؟، تصبح 7 3= 10.
• (-50) - (-20)=؟، تصبح -50 20 = -30.
• (-20) - (-30)=؟، تصبح -20 30 = 10.
• 20 - 10 = 10.
• (-50) - (20)= -70.

طرح الكسور

يشترط لإجراء عملية طرح الكسور أن تكون المقامات متساوية، ويمكن توضيح طريقة طرح الكسور كما يلي:

• إذا كانت المقامات متساوية: فإنه يتم إيجاد الفرق بين بسط كل من الكسرين، ووضع المقام كما هو في النتيجة، والمثال الآتي يوضح ذلك:
  • مثال: (5/4) - (5/2) = (4-2)/ 5 = 5/2، يُلاحظ من المثال أنه تم إيجاد الفرق بين العددين في البسط، وإبقاء المقام كما هو.
• إذا كانت المقامات غير متساوية: فإنه يجب توحيد المقامات لتصبح متساوية، ويتم ذلك عن طريق ضرب كل من البسط، والمقام في كل كسر بعدد معيّن، بحيث تصبح قيمة المقام في كل من الكسرين متساوية، وذلك يتم عادة عن طريق البحث عن المضاعف المشترك الأصغر بين العددين في كل مقام، والمثال الآتي يوضح ذلك:
  • 6/7 - 2/3 =؟، في هذا المثال إن المقامان (7، 3) غير متساويين، وبالتالي يجب التفكير في طريقة لجعلهما متساويين، وذلك عن طريق العثور على المشترك الأصغر بينهما، وهو في هذه الحالة العدد (21)؛ وعليه يجب في الكسر الأول (7/6) ضرب كل من البسط، والمقام بالعدد (3)، (6×3)/(7×3) فيصبح الكسر (18/21)، وفي الكسر الثاني (3/2) يجب ضرب كل من البسط، والمقام بالعدد (7)، (2×7)/ (3×7) فيصبح الكسر (14/21).
  • بعد توحيد المقامات يمكن إجراء عملية الطرح كما في الحالة الأولى، وذلك كما يلي: 21/18 - 21/14 = (18-4) / 21 = 21/4.

أمثلة متنوعة على عملية الطرح

هناك العديد من مصطلحات الطرح التي يمكن العثور عليها في السؤال ويُستدل منها على ضرورة تطبيق عملية الطرح، ومنها؛ (خصم، ينتقص، انخفاض بنسبة، الفرق، كم أكثر؟، كم تبقى؟، ترك، أقل من، ناقص، خفض، بقايا، إزالة، طرح، خصم، يبعد)، وفيما يأتي بعض الأمثلة المختلفة التي توضّح خطوات إجراء الطرح:

مثال1: مع محمد 8 عصيّ، أعطى صديقه 3، فكم واحدة بقي لديه؟

الحل:

• يمكن تمثيل عدد العصي الأصلية بالرسم كما يأتي: | | | | | | | |
• بما أنّ محمد أعطى صديقه 3 فيمكننا حذف | | |.
• وبذلك يبقى لديه | | | | | والتي يبلغ عددها 5، يمكن عدّها للتأكد من ذلك.

مثال2: إذا كانت سيارة تقف عند الرقم 10 على خط الأعداد، ثمّ انتقلت إلى الرقم 3، فأوجد الفرق بين النقطتين لحساب المسافة المقطوعة.

الحل:

• بما أنّ المطلوب هو الفرق بين النقطتين، فيكون المطروح منه هو العدد 10، والمطروح هو العدد 3.
• بتطبيق عملية الطرح: 10-3= 7، ومن ذلك يمكن معرفة المسافة المقطوعة وهي 7 خطوات باتّجاه اليسار.

مثال3: إذا كانت سلمى تقف عند العدد 7 على خط الأعداد، ثمّ قفزت بمقدار خطوتين إلى اليسار، فأين أصبح موقعها؟

الحل:

• بما أنّ الحركة كانت باتجاه اليسار فالعملية طرح.
• المطروح منه هو العدد 7، والمطروح هو العدد 2.
• بتطبيق عملية الطرح: 7-2= 5، يُعرف بأنّ سلمى تقف عند العدد 5.

مثال4: إذا كانت علامة رامي في الرياضيات 98، وكان مجموع علاماته قبل اختبار نهاية الفصل 50، فما هي علامته في الاختبار النهائي؟

الحل:

• يمكن استخدام الطرح لمعرفة الفرق بين العلامتين والذي يمثّل علامته في الاختبار النهائي.
• المطروح منه هو العدد 98، والمطروح هو العدد 50.
• 98-50= 48.
• ومن ذلك تكون علامته في اختبار نهاية الفصل هي: 48.

مثال5: أوجد ناتج أشكال الطرح المختلفة في الإشارات الآتية:

1. 64- (-13)=؟
2. (-20) - (9)=؟
3. (-10) - (-5)=؟

الحل:

1. 64- (-13)= 64 13= 77.
2. (-20) - (9)= -20 -9 = -29.
3. (-10) - (-5)= -10 5= -5.

مثال6: أوجد ناتج ما يلي:

96

-

17

الحل:

• العدد 6 في منزلة الآحاد أقل من العدد 7 وفي أنواع الطرح هذه لا بدّ من استلاف عدد واحد من العدد (9).
• تصبح قيمة العدد (6) تساوي (16)، وتصبح قيمة العدد (9) تساوي (8)
• إكمال الحل كما يأتي: (16-7) يساوي (9) وكتابة الناتج تحتهما مباشرة.
• (8-1) يساوي (7) كتابة الناتج تحتهما مباشرة.
• تصبح النتيجة 79.

مثال7: إذا كان قالب الحلوى مقسّمًا إلى 7 أقسام ، ثمّ أخذ منه قطعتين، فما الكسر الذي يُعبّر عن عدد القطع المتبقية بالنسبة للقالب؟

الحل:

• يمكن التعبير عن القالب الكامل بالكسر (7/7).
• المطروح منه هو (7/7)، والمطروح هو (2/7).
• 7/7 – 2/7 = 5/7.
• وبذلك يكون عدد القطع المتبقية بالنسبة للقالب هو: 5/7.

مثال8: أوجد العملية الحسابية الآتية: 2(5) - 3.  

الحل:

• عندما تكون عملية الطرح داخل مسألة حسابية مع عمليات رياضية أخرى فإنها تتبع لأولويات العمليات الحسابية ، وبالتالي الأولوية للضرب.
• تصبح المعادلة بعد تطبيق عملية الضرب: 10-3.
• ويكون الناتج، 7.

مثال9: أوجد ناتج طرح الكسرين الآتيين: 1/2 - 1/4.

الحل:

• قبل البدء بالحل يجب النظر إلى المقامات للتأكد من أنها موحدة.
• بما أنّ المقامات غير موحدة، لا بدّ من إيجاد المضاعف المسترك الأصغر للعددين (2، 4) وهو 2.
• يُضرب كل من مقام وبسط الكسر الأول (1/2) بالعدد (2).
• يصبح الكسر الأول = 2/4.
• وبطرح 2/4 -1/4 ينتج الكسر: 1/4.
• ومنه فإنّ ناتج طرح الكسرين هو: 1/4.

عملية الطرح هي عملية عكسية لعملية الجمع. ، وهي مهمة في العديد من المعاملات اليومية في حياتنا؛ كالبيع والشراء وغيرها، وتتمتّع عملية الطرح بعدد من الخصائص التي يجب الحرص عليها عند تطبيق المسائل، وبالإضافة إلى ذلك فالطرح على خطّ الأعداد يعني السير باتّجاه اليسار، كما يجب الانتباه إلى ضرورة عملية الاستلاف عند وجود منزلة في العدد المطروح منه أقل من المقابلة لها في المطروح، ولا بدّ من الحرص على توحيد مقامات الكسور قبل البدء بعملية الطرح دائمًا، ومن الأمور الواجب مراعاتها بالإضافة إلى النقاط السابقة، هي الإشارات، فوجود الإشارة السالبة يغيّر الطريقة التي يتعامل فيها الطالب مع الأعداد.