ما هي معادلة الخط المستقيم

الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم

تعرّف معادلة الخط المستقيم (بالإنجليزية: Straight Line Equation) بأنها المعادلة التي تربط بين قيمة كل من الإحداثي السيني، والصادي لأية نقطة تقع على الخط المستقيم، وبالتالي فإنّ أيّة نقطة تقع على الخط المستقيم تحقق هذه المعادلة .

أمّا عن الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم فهي:

أس ب ص جـ = 0

حيث تمثّل: 

• أ عدد حقيقي لا يساوي صفر.
• ب عدد حقيقي لا يساوي صفر.
• جـ عدد حقيقي.

أمثلة على الصيغة العامة للخط المستقيم

المثال الأول: هل النقطة (3،1) تقع على الخط المستقيم الذي معادلته ص = 5 س - 2 ؟الحل:

• بتعويض قيمة س في المعادلة المعطاة:
• ص = 5س - 2
• ص = 5×1-2
• ص = 3
• ناتج المعادلة يساوي قيمة ص في إحداثيات النقطة المعطاة إذن فهي تحقّق المعادلة، وتقع على هذا الخط المستقيم.

المثال الثاني: هل النقطة (4،2) تقع على الخط المسقيم الذي معادلته ص = 5 س - 2 ؟

الحل:

• بتعويض قيمة س في المعادلة المعطاة:
• ص = 5 س - 2
• ص = 5×2 - 2
• ص = 8
• ناتج المعادلة لا يساوي قيمة ص في إحداثيات النقطة المعطاة (4)، وبالتالي فإنّ هذه النقطة لا تقع على الخط المستقيم.

أشكال معادلة الخط المستقيم

هناك عدة أشكال لمعادلة الخط المستقيم بيانها على النحو الآتي:

• المعادلة التي تمثّل العلاقة بين الميل، والإحداثي الصادي:
  • ص = أس ب
  • أ : ميل الخط المستقيم .
  • ب : نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور الصادات.
  • ص = ع
  • حيث ع هو عدد ثابت يُمثّل بُعد الخط المستقيم عن محور السينات.
  • س = ل
  • حيث ل هو رقم ثابت يُمثّل بُعد الخط المستقيم عن محور الصادات.
• ص = أ س
  • حيث أ: ميل الخط المستقيم.
  • وفيما يأتي توضيح لذلك:
  • إذا كان هناك مستقيم مار بنقطة الأصل معادلته ص = س، فهذا يعني أنّه عند تعويض أيّ قيمة للمتغير س فإنّها تساوي قيمة ص، والجدول الآتي يوضح ذلك:

نلاحظ مما سبق أنّ:

• الميل يساوي معامل س، ويساوي 1، وللتأكد من ذلك يمكن تطبيق قانون الميل، وذلك كما يلي:
  • الميل = فرق الصادات / فرق السينات
  • ص2 - ص1/س2 - س1
  • لتطبيق القانون يتم اختيار أي نقطتين من الجدول، مثلاً (1،1) و (2،2)،
  • يمثل الميل لتلك النقطتين: (1-2)/ (1-2)، ويساوي 1.
• وذلك ينطبق على أي خط مستقيم يمر بنقطة الأصل فمثلاً إذا كانت معادلة الخط المستقيم ص = 2س، فهذا يعني أنه عند تعويض أي قيمة للمتغير ص فإنها تساوي ضعف قيمة س، والميل يساوي معامل س، ويساوي 2.

كيفية كتابة معادلة الخط المستقيم

يُمكن كتابة معادلة الخط المستقيم بطرق مختلفة وفقاً للمعطيات المتاحة، وذلك كما يلي:

• كتابة معادلة الخط المستقيم عند معرفة ميله ونقطة واقعة عليه: تكون معادلة الخط المستقيم هي:
• (ص- ص1) = م(س- س1)
• حيث:
  • م: ميل الخط المستقيم.
  • (س1، ص1): هي النقطة الواقعة على الخط المستقيم.
• كتابة معادلة الخط المستقيم عند معرفة نقطتين عليه: تكون معادلة الخط المستقيم هي:
• ( ص- ص1)/(س- س1) = (ص2 - ص1)/(س2 - س1)
• حيث:
  • (س1، ص1)، و(س2، ص2) هما نقطتان تقعان على الخط المستقيم.
• كتابة معادلة الخط المستقيم عند معرفة ميله ونقطة تقاطعه مع محور الصادات: تكون معادلة الخط المستقيم هي:

ص = أس ب

• حيث:
  • أ: ميل الخط المستقيم.
  • ب: هي المقطع الصادي أي النقطة التي يتقاطع عندها الخط المستقيم مع محور الصادات.
• كتابة معادلة الخط المستقيم عند معرفة نقاط تقاطعه: تكون معادلة الخط المستقيم هي:
• س/ ل ص/ ع = 1
• حيث:
• ل: هو المقطع السيني؛ أي قيمة س عندما ص = 0.
• ع: هو المقطع الصادي؛ أي قيمة ص عندما س = 0.

تدريبات متنوعة على معادلة الخط المستقيم

المثال الأول: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين أ (-1، -5)، والنقطة ب (5، 4)؟الحل:

• يمكن حل هذا السؤال بعدة خطوات كما يلي:
• الخطوة الأولى: لنفرض أن النقطة أ تمثل (س1، ص1)، والنقطة ب تمثل (س2، ص2).
• الخطوة الثانية: كتابة معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين، وذلك كما يلي:
  • ( ص - ص1)/(س- س1) = (ص2 - ص1)/(س2 - س1)
  • (ص- (-5))/(س- (-1))=
  • (4- (-5))/ (5-(-1)) =
  • (ص 5)/(س 1) = 9/6، ومنه:
  • (ص 5)= 9/6×(س 1)
  • بفك الأقواس ينتج أن:
  • ص 5 =3/2س 3/2
• بطرح (5) من الطرفين ينتج أن:
  • ص=3/2س - 7/2 وهي معادلة الخط المستقيم.

المثال الثاني: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي ميله يساوي -(1/3)، ويمر بالنقطة (-1،1)؟

الحل:

• نفرض أن النقطة (-1،1) تمثل (س1، ص1).
• كتابة معادلة الخط المستقيم عند معرفة ميله، ونقطة واقعة عليه كما يلي:
  • ص - ص1 = م(س - س1)
  • ومنه:
  • ص-1 = -(1/3)×(س-(-1))، ومنه:
  • ص-1 = -(1/3) × (س 1)
  • بفك الأقواس، وجمع (1) للطرفين ينتج أن:
  • ص = -(1/3) س - (1/3) 1، ومنه:
  • ص = -(1/3)س (2/3)، وهي تمثل معادلة الخط المستقيم.

ملاحظة: عندما يكون الميل سالباً فهذا يعني أن الاقتران متناقص؛ أي يميل الخط المستقيم نحو الأسفل بالتوجه من اليسار لليمين.

المثال الثالث: ما هي معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين (-3،2)، و (8،3)؟

الحل:

• نفترض أن: (-3،2) هي (س1، ص1)، وأن (8،3) هي (س2،ص2)، ومعادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين:
• (ص-ص1)/(س-س1) = (ص2-ص1)/(س2-س1)
• بالتعويض فيها ينتج أن:
• (ص-3)÷(س-(2-))=
• (8-3)÷(3-(-2))، ومنه:
• (ص-3)÷(س 2)=
• 5÷5 = 1، ومنه:
• (ص-3) = (س 2)
• بجمع (3) للطرفين ينتج أن:
• ص=س 5، وهي تمثل معادلة الخط المستقيم.

المثال الرابع: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي ميله 4، ويمر بالنقطة (3،-2)، حيث إن: س1= 3، وص1= -2؟

الحل:

• معادلة الخط المستقيم الذي يُعرف ميله، ونقطة يمر فيها هي:
• (ص-ص1) = م(س - س1)
• يمكن إيجادها كما يلي:
  • ص = ص1 م(س - س1)، وبالتعويض فيها ينتج أن:
  • ص= -2 4×(س-3)، ومنه:
  • ص= -2 4س-12، وعليه:
  • ص = 4س -14، وهي تمثل معادلة الخط المستقيم.

المثال الخامس: ما هو الميل، والمقطع الصادي لكل من المعادلات الآتية؟

أ) ص= 4س 3 

ب) 6س 3ص = 9

الحل:

• المعادلة ص = 4س 3 على الصورة ص=أس ب، وبالتالي فإن الميل لهذه المعادلة يساوي 4، والمقطع الصادي يساوي 3.
• المعادلة 6س 3ص= 9، يجب تحويلها إلى الصورة: ص=أس ب، لإيجاد الميل، والمقطع الصادي لها، وذلك كما يلي:
  • جعل ص موضوع القانون، وذلك بطرح الحد الجبري 6س من الطرفين
  • ثم القسمة على 3، لتصبح المعادلة كما يلي:
  • 3ص = -6س 9
  • بالقسمة على 3 فإن
  • ص= -2س 3.
  • أصبحت المعادلة على الصورة ص= أس ب، وبالتالي فإن الميل=-2، والمقطع الصادي 3.

المثال السادس: إذا كان الميل لخط مستقيم يساوي 5، والمقطع الصادي يساوي 3، فما هي معادلة الخط المستقيم؟

الحل:

• معادلة الخط المستقيم الذي يُعرف ميله ونقطة تقاطعه مع محور الصادات هي:
• ص=أس ب
• وبالتالي فإن معادلة الخط المستقيم المطلوب هي: ص=5س 3.

المثال السابع: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (-5،2)، وفيه المقطع السيني 3؟

الحل:

• معادلة الخط المستقيم هي:
• ص = أ س ب
• لتطبيق هذه المعادلة نحتاج إلى الميل، وقيمة (ب)، ويمكن إيجادهما على النحو الآتي:
  • لإيجاد الميل نحتاج إلى نقطتين، وبما أن المقطع السيني (نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور السينات عندما تكون ص=0)، يساوي 3 فإن النقطة الثانية تساوي (0،3)، وبالتالي فإن الميل هو:
  • ص2 - ص1 / س2 - س1
  • = 5 - 0 / -2 -3= -1.
  • معادلة الخط المستقيم ص = -س ب، ولإيجاد قيمة ب يتم اتباع الخطوات الآتية:
  • تعويض أي من النقطتين (0،3)، أو (-2، 5) في المعادلة، لينتج أن:
  • بتعويض النقطة (0،3) فإن:
  • 0 = -3 ب
  • ب = 3.
• وبالتالي فإن معادلة الخط المستقيم ص= -س 3

ملاحظة: عند التعويض في قانون الميل فإنه يمكن اختيار أي من النقطتين لتكون (س1، ص1)، واختيار الأخرى لتكون (س2، ص2)، وفي الحالتين يمكن الحصول على نفس النتيجة.

المثال الثامن: ماهي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (4 ، 12-)، ومقطعه الصادي يساوي 9؟

الحل:

• معادلة الخط المستقيم هي:
• ص = أ س ب
• لتطبيق هذه المعادلة نحتاج إلى الميل، وقيمة (ب) = 9؛ لأن قيمة المقطع الصادي= 9، ويمكن إيجاد الميل على النحو الآتي:
  • الميل =
  • ص2 - ص1 / س2 - س1
  • ولإيجاد الميل فإننا نحتاج إلى نقطة ثانية وهي (9،0)، وذلك لأن المقطع الصادي هو قيمة ص عندما س تساوي صفر، وبالتالي فإن الميل =
  • (-12-9)/ (4-0)
  • = 4 / 21-
• التعويض في معادلة الخط المستقيم، وذلك كما يلي:
  • ص= (21/4-) س 9.

المثال التاسع: ما هو ميل الخط المستقيم الذي معادلته 7س 28ص= 84؟

الحل:

• الخط المسستقيم الذي يكون على صورة ص= أس ب ميله يساوي أ، وبالتالي فإنه يجب كتابة هذه المعادلة على هذه الصورة كما يلي:
  • 7س 28ص = 84
  • بطرح (7س) من الطرفين ينتج أن:
  • 28ص=-7س 84
  • بقسمة الطرفين على (28)، ينتج أن:
  • ص=(7/28)-س 84/28،
  • ومنه:
  • ص = (1/4-)س 3
• بما أن المعادلة أصبحت على الصورة ص = أ س ب، فإن الميل يساوي (1/4-).

المثال العاشر: خط مستقيم معادلته ص= 3س-6، ومستقيم آخر معادلته 2س = (2/3)ص 4 فعند أي نقطة يتقاطع المستقيمان؟

الحل:

• يمكن إعادة ترتيب الحدود الجبرية في المستقيم الثاني، وجعل ص موضوع القانون لتوحيد شكل المعادلة مع معادلة المستقيم الأول، وذلك كما يلي:
  • 2س = (2/3) ص 4
  • بطرح الرقم 4 من الطرفين، وبضرب الطرفين بمقلوب معامل ص (3/2)، ينتج أن:
  • ص= 3س-6.

يُلاحظ أن المستقيمين لهما نفس المعادلة، وهذا يعني أن المستقيمين يتقاطعان عند جميع النقاط.