ما هي القطوع المخروطية؟
القطوع المخروطية (بالإنجليزية: conic sections) عبارة عن منحنيات، ناتجة عن تقاطع مخاريط قائمة الزاوية مع مستوى، ويمكن رسمه على المستوى الديكارتي، ورياضياً، يعرف القطع المخروطي على أنه المحل الهندسي لنقطة تحرك بحيث تكون العلاقة بين بعدها عن نقطة ثابتة وبعدها عن مستقيم ثابت بنسبة ثابتة، وقد تسمى هذه النسبة بالاختلاف المركزي، كما تسمى النقطة الثابتة البؤرة ، أما المستقيم الثابت فيعرف باسم الدليل.
وهناك العديد من التطبيقات الحياتية على القطوع المخروطية، منها دراسة مدارات الكواكب والأقمار الصناعية ، وتصميم الجسور والمرايا والمصابيح الكاشفة والمصابيح الأمامية للسيارات.
أنواع القطوع المخروطية
ينتج عن تغيير زاوية وموقع تقاطع المخروط مع المستوى 4 أنواع مختلفة من القطوع، وهي: القطع الزائد، والقطع المكافئ، والقطع الناقص، والدائرة.
القطع الزائد
(بالإنجليزية: hyperbola)، وهو قطاع مخروطي ناتج عن تقاطع مخروط دائري قائم مع مستوى عمودي مع قاعدة المخروط.
معادلة القطع الزائد عندما يكون مركزه عند النقطة (أ، ب):
(س² / أ² ) - (ص² / ب² ) = 1
القطع المكافئ
(بالإنجليزية: parabola)، وهو قطاع مخروطي ناتج عن تقاطع مخروط دائري قائم مع مستوى مائل موازي لسطح المخروط.
- معادلة القطع المكافئ في حال كان مفتوحاً لليمين أو لليسار:
( ص - ص. )² = 4 × أ × ( س - س. )
- معادلة القطع المكافئ في حال كان مفتوحاً للأعلى أو للأسفل:
( س - س. )² = 4 × أ × ( ص - ص. )²
بحيث أن:
س: الإحداثي السيني لرأس القطع المكافيء
ص: لإحداثي الصادي لرأس القطع المكافيء
- معادلة القطع المكافئ في حال كان مفتوحاً لليمين أو لليسار، ورأسه عند مركز المستوى الديكارتي ( 0 ، 0 ):
ص² = 4 × أ × س
- معادلة القطع المكافئ في حال كان مفتوحاً للأعلى أو للأسفل، ورأسه عند مركز المستوى الديكارتي ( 0 ، 0 ):
س² = 4 × أ × ص
القطع الناقص
(بالإنجليزية: Ellipse)، وهو قطاع مخروطي ناتج عن تقاطع مخروط دائري قائم مع مستوى مائل عن قاعدة المخروط بزاوية صغيرة.
- معادلة القطع الناقص عندما يكون مركزه عند النقطة ( أ ، ب ):
(س² / أ² ) (ص² / ب² ) = 1
بحيث أن:
أ: هو الإحداث الصادي لنقطة داخل القطع الناقص، تقع في منتصف الخط الذي يصل بين البؤريين، وهو نفسه نقطة تقاطع المحاور الرئيسية والثانوية.
ب: هو الإحداث الصادي لنقطة داخل القطع الناقص، تقع في منتصف الخط الذي يصل بين البؤريين، وهو نفسه نقطة تقاطع المحاور الرئيسية والثانوية.
الدائرة
(بالإنجليزية: Circle)، يعتبر حالة خاصة من القطوع المخروطية، وهي القطاع المخروطي الناتج عن تقاطع مخروط دائري قائم مع مستوى موازي لقاعدة المخروط.
- معادلة الدائرة عندما يكون مركزها عند النقطة (0، 0):
س² ص² = نق²
- معادلة الدائرة عندما يكون مركزها عند النقطة ( أ ، ب ):
(س - أ² ) ( ص - ب² ) = نق²
حيث أن:
نق: نصف قطر الدائرة
أ: الإحداثي السيني لمركز الدائرة
ب: الإحداثي الصادي لمركز الدائرة
