ما هي الأعداد الناطقة؟

تعريف الأعداد الناطقة

الأعداد الناطقة هي الأعداد النسبية (بالإنجليزية: Rational Numbers) وهي نوع من أنواع الأعداد الحقيقية (بالإنجليزية: Real Numbers) ، وهي الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسور ، أي تتكون من بسط ومقام ، حيث يكون كل من المقام والبسط أعدادًا صحيحة ويكون المقام لا يساوي الرقم صفر ، ويمكن تمثيله بالرموز على صورة أ/ب ، حيث أن أ و ب أعداد صحيحة، وب لا تساوي الرقم صفر.

طرق تمييز الأعداد النسبية

فيما يأتي بعض الأمثلة على كيفية تمييز الأعداد النسبية :

• 2/7: العدد 2 هنا عدد صحيح ، و7 عدد صحيح أيضًا ، إذًا فهو عدد نسبي.
• 0/0: الرقم صفر هنا موجود بالمقام ، لذلك ليس عدد نسبي.
• 9-: يمكننا كتابة العدد 9- على الصورة 1/ 9- ، إذا فهو عدد نسبي.
• 0: الرقم صفر هنا بالبسط ، لذلك فهو عدد نسبي أي يمكن كتابته على صورة 0/1.

الفرق بين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية

إن الأعداد النسبية (بالإنجليزية: Rational Numbers) والأعداد غير النسبية (بالإنجليزية: Irrational Numbers) ، كلاهما تحت مجموعة الأعداد الحقيقية لكن لهما خصائص مختلفة:

الأعداد النسبية

وهي الأعداد التي يمكن تمثيلها على شكل كسور ، وعند القيام بقسمة الكسر يعطينا عدد عشري ، ومن الأمثلة عليها ما يلي:

• العدد الصحيح: مثل الرقم 9 حيث يمكن كتابته على الشكل 9/1.
• الجذور للأعداد المربعة: مثل الجذر 81√ حيث يمكن تبسيطه إلى 9 ويمكن كتابته على الشكل 9/1.
• العدد العشري المنتهي والدوري: حيث يكون ناتج قسمة الكسر العشري المنتهي هو عدد عشري له نهاية مثل: 1/2 حيث يمكن كتابته كعدد عشري نهائي 0.5 ، ومثال آخر حيث يمكن التعبير عن الكسر 1/4 كعدد عشري نهائي إنه 0.25، أما الكسر العشري الدوري عندما يكون ناتج قسمة الكسر رقم غير منتهي ومتكرر مثل: 7/9 حيث يمكن كتابته كعدد عشري 0.7777777، ومثال آخر حيث يمكن التعبير عن 1/3 كعدد عشري دوري 0.33333 حيث إن تكرار العدد 3 سيستمر دون نهاية.

الأعداد غير النسبية

الأعداد غير النسبية لا يمكن كتابتها على شكل كسور عشرية أو على شكل نسبة ولكن يمكن كتابتها على شكل أعداد عشرية ، ومن الأمثلة عليها ما يلي:

• عدد مقامه صفر: مثل 5/0.
• الجذور للأعداد غير المربعة: مثل الجذر 2√ حيث إنه لا يمكن تبسيطه ويمكن كتابته على الشكل 1.41521356
• عدد عشري غير منتهي وغير دوري: هو عدد عشري يستمر إلى ما لا نهاية مع عدم وجود مجموعة من الأرقام تتكرر إلى ما لا نهاية مثل: 0.212112111 ولا يمكن تمثيل الأعداد العشرية من هذا النوع ككسور.
• الباي (π): قيمة الباي هي... 3.142 وهو رقم عشري لا ينتهي ولا يتكرر.

خصائص الأعداد النسبية

نظرًا لأن الأعداد النسبية هي نوع من أنواع الأعداد الحقيقية ، فإنها سوف تخضع لجميع خصائص الأعداد الحقيقية ، وفيما يلي بعض الخصائص المهمة للأعداد النسبية:

• إذا كان العامل المشترك بين البسط والمقام في العدد النسبي هو الرقم 1 فقط، فإنّه يُطلق عليه الصورة القياسية للعدد النسبي.
• عند ضرب عددين نسبيين فإنّ الناتج يكون حاصل ضرب البسط/حاصل ضرب المقام، مثل:

4/3 . 1/2 =

(2).(3) / (1).(4) =

4/6

• إذا ضربنا أو جمعنا أو طرحنا أي عددين نسبيين تكون النتائج دائمًا عددًا نسبيًا ، بالتالي بعض الأمثلة:

2/5 . 3/7 = 6/35

2/3 - 1/3 = 1/3

7/6 2/5 = 47/30

• إذا قسمنا أو ضربنا البسط والمقام بنفس العامل يبقى العدد النسبي كما هو ، بالتالي بعض الأمثلة:

2/5 إذا تم ضرب البسط والمقام بالعدد 3

2.3/5.3 = 6/15

6/15 إذا تم قسمة البسط والمقام على العدد 3

3÷3/15÷6 = 2/5

• يتم إغلاق الأعداد النسبية في إطار عمليات الجمع والطرح والضرب ، بالتالي بعض الأمثلة:

(7/6) (2/5) = 47/30

(5/6) - (1/3) = 1/2

(2/5). (3/7) = 6/35

• إذا أضفنا صفرًا إلى عدد نسبي ، سنحصل على نفس الرقم نفسه ، بالتالي بعض الأمثلة:

1/2 0 = 1/2

• بالنسبة للأعداد النسبية، يكون الجمع والضرب تبادليًا ( الخاصية التبادلية):

(2/5) . (3/7) = (3/7) . (2/5) = 6/35

(7/6) (2/5) = (2/5) (7/6) = 47/30

علما بأن الخاصية التبادلية لا تنطبق على الطرح والقسمة حيث أن:

(1/3) - (2/3) = 1/3 بينما (2/3) - (1/3) = 1/3-

4/9 ÷ 1/2 = 8/9 بينما 1/2 ÷ 4/9 = 9/8