مفهوم ميل الخط المستقيم
يُعرّف ميل الخط المستقيم (بالإنجليزيّة: Slope of line) بأنه مقياس قيمة الانحدار، أو نسبة التغير في الإحداثي الصادي نسبةً إلى التغير في الإحداثي السيني، عندها يكون متزايدًا للأعلى بالرسم البياني عندما يتجه من اليمين إلى اليسار، أو متناقصًا للأسفل بالرسم البياني عندما يتجه من اليسار إلى اليمين.
قانون حساب ميل الخط المستقيم
يُمكن التعبير عن ميل الخط المستقيم بالصيغة الرياضية الآتية:
ميل الخط المُستقيم = الفرق بين إحداثيات نقطتين على محور الصادات / الفرق بين إحداثيات نقطتين على محور السينات
وبالرموز:
ميل الخط المُستقيم = (ص2 - ص1) / (س2 - س1)
حيث إنّ:
- س 1 : إحداثي النقطة الأولى في محور السينات.
- س 2 : إحداثي النقطة الثانية في محور السينات.
- ص 1 : إحداثي النقطة الأولى في محور الصادات.
- ص 2 : إحداثي النقطة الثانية في محور الصادات.
ميل الخطوط المتوازية
يتساوى ميل جميع الخطوط المتوازية مع بعضها البعض، أي أنّ ميل أي خط مستقيم يُساوي ميل أي الخط المستقيم الموازي له؛ فمثلًا عند توازي الخط المستقيم (ل) الذي يصل بين النقطتين (أ ، ب) مع الخط المستقيم (ك) الذي يصل بين النقطتين (ع ، د) عندها يُمكن التعبير عن ميل الخطين المتوازيين رياضيًا على النحو الآتي:
ميل الخط المستقيم ل = ميل الخط المستقيم ك
وبالرموز:
(ص2 - ص1) / (س2 - س1) = (ص4 - ص3)/ (س4 - س3)
حيث إنّ:
- ص 1 : إحداثي النقطة (أ) في محور الصادات.
- ص 2 : إحداثي النقطة (ب) في محور الصادات.
- ص 3 : إحداثي النقطة (ع) في محور الصادات.
- ص 4 : إحداثي النقطة (د) في محور الصادات.
- س 1 : إحداثي النقطة (أ) في محور السينات.
- س 2 : إحداثي النقطة (ب) في محور السينات.
- س 3 : إحداثي النقطة (ع) في محور السينات.
- س 4 : إحداثي النقطة (د) في محور السينات.
ملاحظة: يكون الميل متزايدًا للأعلى بالرسم البياني عندما يتجه من اليمين إلى اليسار (قيمة الميل موجبة)، ومتناقصًا للأسفل بالرسم البياني عندما يتجه من اليسار إلى اليمين (قيمة الميل سالبة).
ميل الخطوط المتعامدة
يُمكن حساب ميل خطين متعامدين من خلال معرفة ميل أحدهما، وذلك لأن ميل الخط الأول يُساوي مقلوب* ومعكوس* قيمة ميل الخط الثاني، فمثلًا إذا كان الخط (ل) المار بالنقطتين (أ ، ب) مُتعامد على الخط (ك) المار بالنقطتين (ج ، د)، وكان ميل الخط (ل) يساوي (س) فإن ميل الخط (ك) المتعامد عليه يساوي (-1 / س).
يُمكن التعبير عن العلاقة بين الخطين (ل) و(ك) المتعامدين على بعضهما البعض رياضيًا على النحو الآتي:
ميل الخط المستقيم ك = -1 / ميل الخط المستقيم ل
وبالرموز:
((ص4 - ص3) / (س4 - س3)) = -1 / ((ص2 - ص1) / (س2 - س1))
حيث إنّ:
- ص 1 : إحداثي النقطة (أ) في محور الصادات.
- ص 2 : إحداثي النقطة (ب) في محور الصادات.
- ص 3 : إحداثي النقطة (ج) في محور الصادات.
- ص 4 : إحداثي النقطة (د) في محور الصادات.
- س 1 : إحداثي النقطة (أ) في محور السينات.
- س 2 : إحداثي النقطة (ب) في محور السينات.
- س 3 : إحداثي النقطة (ج) في محور السينات.
- س 4 : إحداثي النقطة (د) في محور السينات.
ملاحظة: يكون الميل متزايدًا للأعلى بالرسم البياني عندما يتجه من اليمين إلى اليسار (قيمة الميل موجبة)، ومتناقصًا للأسفل بالرسم البياني عندما يتجه من اليسار إلى اليمين (قيمة الميل سالبة).
أمثلة على حساب ميل الخط المستقيم
حساب ميل الخط المستقيم المار بنقطتين
المثال (1):
إذا كان الخط المُستقيم (ل) خطًا واصلًا بين نقطتين بالإحداثيات الآتية: أ (5 ، 3)، ب (4 ، 2)، فما هو ميله؟
- كتابة علاقة ميل الخط المُستقيم:
ميل الخط المُستقيم = (ص2 - ص1) / (س2 - س1)
ميل الخط المُستقيم (ل) = (2 - 3) / (4 - 5)
ميل الخط المُستقيم (ل) = -1 / -1
ميل الخط المُستقيم (ل) = 1، وهو ميل متزايد.
المثال (2):
إذا كان الخط المُستقيم (ع) خطًا واصلًا بين نقطتين بالإحداثيات الآتية: أ (-5 ، 3)، ب (3 ، 1)، فما هو ميله؟
- كتابة علاقة ميل الخط المُستقيم:
ميل الخط المُستقيم = (ص2 - ص1) / (س2 - س1)
ميل الخط المُستقيم (ع) = (1 - 3) / (3 - (-5))
ميل الخط المُستقيم (ع) = -2 / 8
ميل الخط المُستقيم (ع) = -1 / 4، وهو ميل متناقص.
حساب ميل خطين مستقيمين متوازيين
إذا كان الخط المُستقيم (و) خطًا واصلًا بين نقطتين بالإحداثيات الآتية: أ (-2 ، 0)، ب (3 ، 1)، وكان الخط المُستقيم (هـ) خطًا موازيًا له ومار بالنقطتين (ع ، د)، فما هو ميل الخط المُستقيم (هـ)؟
- كتابة علاقة ميل الخط المُستقيم:
ميل الخط المُستقيم = (ص2 - ص1) / (س2 - س1)
- تعويض معطيات الخط المُستقيم (و):
ميل الخط المُستقيم (و) = (1 - 0) / (3 - (-2))
- إيجاد ناتج ميل الخط المُستقيم (و):
ميل الخط المُستقيم (و) = 1 / 5
- كتابة علاقة ميل الخطين المتوازيين:
ميل الخط المُستقيم هـ = ميل الخط المُستقيم و
ميل الخط المُستقيم هـ = 1 / 5، وهو ميل متزايد.
حساب ميل خطين مستقيمين متعامدين
إذا كان الخط المُستقيم (م) خطًا واصلًا بين نقطتين بالإحداثيات الآتية: أ (-1 ، 0)، ب (-7 ، 4)، وكان الخط المُستقيم (ن) خطًا عموديًا على الخط المُستقيم (م) ومار بالنقطتين (ع ، د)، فما هو ميل الخط المُستقيم (ن)؟
- كتابة علاقة ميل الخط المُستقيم:
ميل الخط المُستقيم = (ص2 - ص1) / (س2 - س1)
- تعويض معطيات الخط المُستقيم (م):
ميل الخط المُستقيم (م) = (4 - 0) / (-7 - (-1))
- إيجاد ناتج ميل الخط المُستقيم (م):
ميل الخط المُستقيم (م) = -2 / 3
- كتابة علاقة ميل الخطين المتعامدين:
ميل الخط المستقيم ن = -1 / ميل الخط المستقيم م
ميل الخط المُستقيم ن = -1 / (-2 / 3)
ميل الخط المُستقيم ن = 3 / 2، وهو ميل متزايد.
______________________________________________________________________________
- المقلوب: هو حاصل قسمة الرقم 1 على الرقم نفسه، على سبيل المثال: مقلوب العدد 2 يُساوي ½.
- المعكوس: هو العدد نفسه مضافًا إليه إشارة السالب، على سبيل المثال: معكوس العدد 2 يُساوي (-2).
