حساب محيط المثلث القائم من أطوال أضلاعه
يُعرف محيط أي شكل بأنه المسافة الخارجية التي تحيط بالشكل، وبما أنه من خصائص المثلث أنه يتكون من ثلاثة أضلاع ، فإنه يمكن إيجاد محيطه عن طريق إيجاد حاصل جمع هذه الأضلاع، وبالتالي فإن محيط المثلث الذي تكون أطوال أضلاعه أ، ب، جـ، يُعطى بالصيغة الآتية:
محيط المثلث = أ ب جـ
حساب محيط المثلث القائم من طول ضلعين
يُمكن حساب محيط المثلث القائم عند معرفة طول ضلعين باستخدام نظرية فيثاغورس، وذلك كما يأتي:
- تنص نظرية فيثاغورس على أنّ مجموع مربعي طولي ضلعي المثلث قائم الزاوية مساوٍ لمربع طول الوتر ، ويُمكن تمثيله بالعلاقة الآتية:
- الوتر² = طول الضلع الأول² طول الضلع الثاني²
- ويُمكن تمثيل النظرية بالرموز، فإذا كان المثلث أ ب جـ، قائم الزاوية في ب، فإنّ: أجـ²= أ ب² ب جـ²
- تُحسب قيمة الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس.
- يُعوّض قيمة الوتر في قانون المحيط، حيث أنّ:
- محيط المثلث القائم = طول أجـ طول أ ب طول ب جـ
- يُصبح (محيط المثلث القائم = أ ب ب جـ (أ ب² ب جـ²)√)
- ويُمكن أيضًا إيجاد طول الضلع المجهول في حال كان الوتر وطول الضلع الثاني معلومين باستخدام قانون فيثاغورس، ثم يُعوّض في قانون المحيط.
حساب محيط المثلث القائم من مساحته وطول ضلعه
يُمكن حساب محيط المثلث قائم الزاوية إذا كانت مساحته وأحد أطوال أضلاعه معلومين بالخطوات الآتية:
- يُعوّض في قانون مساحة المثلث لإيجاد قيمة طول الضلع الثاني، حيث أنّ: مساحة المثلث = 1/2 × القاعدة × الارتفاع
- أي أنّ مساحة المثلث = 1/2 × طول الضلع الأول × طول الضلع الثاني.
- يعوض في قانون نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة الوتر أو الضلع الثالث، ثم يعوض في قانون محيط المثلث القائم؛ محيط المثلث القائم= أ ب جـ.
حساب محيط المثلث القائم من طول ضلعه وقياس زاويتين
يُمكن حساب محيط المثلث القائم إذا كان الوتر وقياس زاويتين معلومتين بالخطوات الآتية:
- يُستخدم قانون الجيب لحساب قيم أطوال أضلاع المثلث، حيث أنّ: جاθ = الضلع المقابل للزاوية/ الوتر.
- إذا كان المثلث س ص ع، قائم في ص، فيمكن حساب الأضلاع كالتالي:
- جاθع = س ص/ ع س، لإيجاد قيمة الضلع س ص، وهو الضلع الأول.
- جاθس = ع ص/ ع س، لإيجاد قيمة الضلع ع ص، وهو الضلع الثاني.
حيث أنّ:
- θع، θس: هما الزاويتين الحادتين في المثلث القائم، إذ إنّ الزاوية القائمة هي الزاوية 90 والضلع المقابل لها هو الوتر نفسه.
- إذا كانت قيمة إحدى الزاويتين θس، θص مجهولًا، فيُمكن حساب قيمتها من قانون مجموع زوايا المثلث تساوي 180: θ1 θ2 90 = 180
- تُعوض قيمة الزاوية المعلومة في القانون لإيجاد الزاوية المجهولة، ثم يعوض في قانون محيط المثلث القائم.
أمثلة على حساب محيط المثلث القائم
وفيما يأتي أمثلة متنوعة على حساب محيط المثلث القائم:
إذا كانت جميع أطوال أضلاعه معلومة
جد محيط المثلث القائم إذا علمتَ أنّ ارتفاعه يساوي 5 سم، وقاعدته تساوي 3 سم، وطول الوتر يساوي 9 سم.
الحل:
- يُطبق قانون محيط المثلث القائم: محيط المثلث= مجموع أطوال أضلاعه
- محيط المثلث= أ ب جـ
- محيط المثلث= 5 3 9
- محيط المثلث= 17 سم.
إذا كان طول ضعلين فيه معلومين
احسب محيط المثلث قائم الزاوية إذا علمتَ أنّ ارتفاعه 4 سم، وطول قاعدته 3 سم.
الحل:
- يطبق قانون فيثاغورس لإيجاد قيمة الوتر: الوتر²= طول الضلع الأول² طول الضلع الثاني².
- الوتر²= 4² 3²
- الوتر²= 16 9
- الوتر²= 25
- الوتر= 5 سم.
- يعوض قيمة الوتر في قانون المحيط: محيط المثلث القائم= أ ب جـ
- محيط المثلث القائم= 3 4 5
- محيط المثلث القائم= 12 سم.
إذا كانت مساحته وأحد أطوال أضلاعه معلومة
مثلث س ص ع قائم الزاوية في ص، طول الضلع س ص= 12 سم، ومساحة المثلث 110 سم²، احسب محيط المثلث.
الحل:
- يعوض في قانون مساحة المثلث لإيجاد قيمة طول الضلع ص ع، حيث أنّ: مساحة المثلث= 1/2 × القاعدة × الارتفاع
- 110= 1/2 × القاعدة × 12
- القاعدة= الضلع ص ع= 18.33 سم.
- يعوض في قانون نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة الوتر: الوتر² = (س ص)² (ص ع)².
- الوتر² = 12² 18.33²
- الوتر² = 144 335.99
- الوتر² = 479.98
- الوتر = 21.9 سم.
- يعوض قيمة الوتر في قانون المحيط: محيط المثلث القائم = أ ب جـ
- محيط المثلث القائم = 12 18.33 21.9
- محيط المثلث القائم = 52.23 سم.
إذا كان الوتر وقياس زوايا المثلث معلومة
مثلث س ص ع مثلث قائم الزاوية في ص، إذا علمتَ أن طول الوتر يساوي 10 سم، وقياس الزاوية س يساوي 30، وقياس الزاوية ع يساوي 60، جد محيط المثلث.
الحل:
- لحساب الضلع ص ع، نطبق قانون الجيب: جاθ = طول الضلع المقابل للزاوية / الوتر
- جا30 = الضلع (ص ع)/ الوتر
- 0.5 = الضلع (ص ع)/ 10
- الضع (ص ع)= 5 سم.
- لحساب الضلع ص ع، نطبق قانون الجيب: جا60 = الضلع (س ص)/ الوتر
- 0.866 = الضلع (س ص)/ 10
- الضع (س ص)= 8.66 سم.
- تعوض قيمة الوتر في قانون المحيط: محيط المثلث القائم = أ ب جـ
- محيط المثلث القائم = 3 8.66 5
- محيط المثلث القائم = 16.66 سم.
