ما هو قانون المستطيل

قوانين المستطيل

وفيما يأتي أبرز القوانين الخاصة بالمستطيل:

قوانين حساب محيط المستطيل

يُمكن تعريف محيط المستطيل (بالإنجليزية: Rectangle Perimeter) على أنه المسافة الإجمالية حول سطح المستطيل، ويُقاس المحيط باستخدام إحدى وحدات قياس الطول، ويتم حساب محيط المستطيل بعدّة طرق هي كما يأتي:

• حساب المحيط باستخدام الطول والعرض، وهو القانون الأكثر شيوعاً، ويساوي ضعفي مجموع الطول والعرض؛ حيث:
  • محيط المستطيل=2×(الطول العرض)، وبالرموز: ح=2(أ ب)؛ حيث:
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.

• حساب المحيط باستخدام القطر والطول أو العرض، حيث:
  • محيط المستطيل=2×الطول 2×(القطر²- الطول²)√، وبالرموز: ح=2أ 2(ق²-أ²)√، أو محيط المستطيل=2×العرض 2×(القطر²- العرض²)√، وبالرموز: ح=2ب 2(ق²-ب²)√؛ حيث:
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • ح: محيط المستطيل.
    • ق: قطر المستطيل.

• حساب المحيط باستخدام المساحة والطول أو العرض، حيث:
  • محيط المستطيل=2×الطول 2×(المساحة/الطول)، وبالرموز: ح=2أ 2(م/أ)، أو محيط المستطيل=2×العرض 2×(المساحة/العرض)، وبالرموز: ح=2ب 2(م/ب)، حيث:
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.

قوانين حساب مساحة المستطيل

يُمكن تعريف مساحة المستطيل (بالإنجليزية: Rectangle Area) على أنها مقدار الحيّز أو الفراغ المحصور داخل المستطيل، وتقاس بوحدة الطول المربعة، ويتم حساب مساحة المستطيل بعدّة طرق هي كما يأتي:

• باستخدام الطول والعرض، وهو القانون الأكثر شيوعاً ويساوي طول المستطيل مضروباً في عرضه؛ حيث:
  • مساحة المستطيل=الطول×العرض، وبالرموز: م=أ×ب؛ حيث:
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.

• حساب المساحة باستخدام المحيط والطول أو العرض، حيث:
  • مساحة المستطيل=(محيط المستطيل×الطول-2×الطول²)/2، وبالرموز: م=(ح أ -2أ²)/2، أو مساحة المستطيل=(محيط المستطيل×العرض-2×العرض²)/2، وبالرموز: م=(ح ب -2ب²)/2؛ حيث:
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • ح: محيط المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.

• حساب المساحة باستخدام القطر والطول أو العرض، حيث:
  • مساحة المستطيل=الطول×(القطر²-الطول²)√، وبالرموز: م=أ(ق²-أ²)√، أو مساحة المستطيل=العرض×(القطر²-العرض²)√، وبالرموز: م=ب(ق²- ب²)√؛ حيث:
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • ق: قطر المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.

• حساب المساحة باستخدام القطر وجيب الزاوية الحادّة المحصورة بين القطرين، عن طريق ضرب مربع القطر في جيب الزاوية الحادّة، ثمّ قسمة المقدار على 2، حيث:
  • مساحة المستطيل=القطر²× جيب الزاوية الحادّة/2، وبالرموز: م=ق²×(جا(β)/ 2)؛ حيث:
    • β: الزاوية الحادة المحصورة بين قطري المستطيل.
    • ق: قطر المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.

قوانين حساب أطوال أقطار المستطيل

يُمكن حساب أطوال أقطار (بالإنجليزية: Diagonal) المستطيل بعدّة طرق هي كما يأتي:

• باستخدام نظريّة فيثاغورس: وذلك بأحذ الجذر التربيعي لمجموع مربعي الطول والعرض، لينتج أن:
  • قطر المستطيل=(الطول² العرض²)√، وبالرموز: ق=(أ² ب²)√؛ حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.

• حساب القطر باستخدام المساحة والطول أو العرض حيث:
  • قطر المستطيل=(المساحة²/الطول² الطول²)√، وبالرموز: ق=(م²/أ² أ²)√، أو قطر المستطيل=(المساحة²/العرض² العرض²)√، وبالرموز: ق=(م²/ب² ب²)√؛ حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.

• حساب القطر باستخدام المحيط والطول أو العرض: حيث:
  • قطر المستطيل=(2×الطول²-المحيط×الطول (المحيط²)/4)√، وبالرموز: ق=(2×أ²-ح×أ (ح²)/4)√، أو قطر المستطيل=(2×العرض²-المحيط×العرض (المحيط²)/4)√، وبالرموز: ق=(2×ب²-ح×ب (ح²)/4)√؛ حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • ح: محيط المستطيل.

• حساب القطر باستخدام جيب الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل والضلع المقابل للزاوية، حيث:
  • قطر المستطيل=الضلع المقابل/جيب الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل، وبالرموز: ق=أ/جاα؛ حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • أ: طول ضلع المستطيل المقابل للزاوية (α).
    • α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل.

• باستخدام جيب التمام للزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل والضلع المجاور للزاوية، حيث:
  • قطر المستطيل=الضلع المجاور/جيب الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل، وبالرموز: ق=ب/جتاα؛ حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • ب: طول ضلع المستطيل المجاور للزاوية (α).
    • α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل .

• باستخدام جيب الزاوية الحادة بين القطرين ومساحة المستطيل: حيث:
  • قطر المستطيل= (2×المساحة×جيب الزاوية الحادة)√، وبالرموز: ق=(2×م×جاβ)√؛ حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.
    • β: الزاوية الحادة المحصورة بين قطري المستطيل.

قوانين حساب أبعاد المستطيل

يُمكن حساب أطوال أضلاع المستطيل بعدّة طرق هي كما يأتي:

• حساب طول الضلع باستخدام القطر وطول الضلع الآخر:
  • طول الضلع=(القطر²- طول الضلع الآخر²)√، وبالرموز: أ=(ق²- ب²)√.

• حساب طول الضلع باستخدام المساحة وطول الضلع الآخر:
  • طول الضلع=المساحة/طول الضلع الآخر، وبالرموز: أ=م/ب.

• حساب طول الضلع باستخدام المحيط وطول الضلع الآخر:
  • طول الضلع=(المحيط- 2×طول الضلع الآخر)/2، وبالرموز: أ= (ح- 2ب)/2.

• حساب طول الضلع باستخدام القطر والزاوية المحصورة بين القطر والضلع المطلوب قياسه:
  • طول المستطيل= القطر×جيب تمام الزاوية α، أو عرض المستطيل= القطر×جيب الزاوية α، وبالرموز: أ=ق×جتاα، ب=ق×جاα؛ حيث:
    • أ: طول المستطيل، وهو الضلع الأطول فيه والضلع المجاور للزاوية α.
    • α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل .
    • ب: عرض المستطيل، وهو الضلع المقابل للزاوية α، والضلع الأقصر في المستطيل.

قوانين أخرى متعلقة بالمستطيل

من القوانين الأخرى المتعلقة بالمستطيل ما يأتي:

• يُمكن إيجاد الزاوية المحصورة بين قطر المستطيل والقاعدة بعدّة طرق هي كما يأتي:
  • باستخدام القطر وأحد الأضلاع: جيب الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة=الضلع المقابل/ القطر، وبالرموز: جاα=ب/ق، أو جيب تمام الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة=الضلع المجاور/القطر، وبالرموز: جتاα=أ/ق؛ حيث:
    • أ: طول المستطيل، وهو الضلع الأطول فيه والضلع المجاور للزاوية α.
    • α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل (قاعدته).
    • ب: عرض المستطيل، وهو الضلع المقابل للزاوية α، والضلع الأقصر في المستطيل.
  • باستخدام الزاوية الحادة بين الأقطار: الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة= الزاوية الحادة بين القطرين/2، وبالرموز: α=β/2؛ حيث:
    • α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل (قاعدته).
    • β: الزاوية الحادة المحصورة بين القطرين.

• يُمكن إيجاد الزاوية الحادة بين قطري المستطيل (β) بعدّة طرق هي كما يأتي:
  • باستخدام الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة: وهي بإعادة ترتيب القانون السابق: الزاوية الحادة بين قطري المستطيل=2×الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة، وبالرموز: (β=2×α).
  • باستخدام المساحة والقطر: جيب الزاوية الحادة بين قطري المستطيل=(2×المساحة)/ القطر²، وبالرموز: (جاβ)= 2م/ق²؛ حيث:
    • م: مساحة المستطيل.
    • ق: قطر المستطيل.
    • β: الزاوية الحادة المحصورة بين القطرين.

أمثلة متنوعة على استخدام قوانين المستطيل

وفيما يأتي أمثلة متنوعة على استخدام قوانين المستطيل:

حساب مساحة المستطيل إذا عُلمت أطوال أضلاعه

مثال 1: احسب مساحة المستطيل الذي طوله 5 سم، وعرضه 7 سم.

الحل:

• وفق القانون: مساحة المستطيل= الطول× العرض.
• مساحة المستطيل=5×7=35 سم².

مثال 2: سجادة مستطيلة الشكل طولها 9م، وعرضها 6م، ما هي مساحتها؟الحل:

• تعويض قيمة الطول والعرض في قانون مساحة المستطيل: م=أ×ب، لينتج أن: م=9×6، ومنه مساحة السجادة: م=54 م².

حساب مساحة المستطيل إذا عُلم المحيط والعرض

إذا كان محيط المستطيل يساوي 20سم، وعرضه 2سم، كم تبلغ مساحته؟

الحل:

• وفق القانون: محيط المستطيل= 2 × (الطول العرض).
• نعوض قيمة المحيط، وقيمة العرض، وذلك لإيجاد الطول.
  • 20= 2×(الطول 2).
  • 20=2× الطول 4
  • 16=2×الطول
  • الطول=8 سم.
• بما أن مساحة المستطيل = الطول× العرض.
• مساحة المستطيل=8×2
• مساحة المستطيل= 16 سم².

حساب مساحة المستطيل إذا عُلم القطر والعرض

احسب مساحة المستطيل إذ علمت أن قطره 5 سم، وعرضه 3 سم.

الحل:

• نحسب قيمة الطول من القانون؛ القطر² = الطول² العرض².
  • 5² = الطول² 3²
  • 25 = الطول² 9
  • الطول = (25 - 9) √
  • الطول = 16 √
  • الطول = 4 سم.
• نعوض قيمة الطول في قانون المساحة: مساحة المستطيل=الطول×العرض.
• مساحة المستطيل = 4 × 3.
• مساحة المستطيل = 12 سم².

حساب محيط ومساحة وطول قطر المستطيل إذا عُلمت أطوال أضلاعه

مستطيل أطوال أضلاعه 8سم، و12سم، ما هو محيط المستطيل، ومساحته، وطول قطره؟

الحل:

• تعويض قيمة الطول والعرض في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ ب)، لينتج أن: ح=2(12 8)، ومنه محيط المستطيل:ح=40سم.
• تعويض قيمة الطول والعرض في قانون مساحة المستطيل: م=أ×ب، لينتج أن: م=12×8، ومنه مساحة المستطيل: م=96سم².
• تعويض قيمة الطول والعرض في قانون طول القطر: ق=(أ² ب²)√، لينتج أن: ق=(12² 8²)√، ومنه قطر المستطيل: ق= 14.4سم.

حساب محيط ومساحة المستطيل إذا عُلمت أطوال أضلاعه

منسطيل طوله 24م، وعرضه 12م، ما هي مساحته ومحيطه؟

الحل:

• تعويض قيمة الطول والعرض في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ ب)، لينتج أن: ح=2(24 12)، ومنه محيط المستطيل:ح=72م.
• تعويض قيمة الطول والعرض في قانون مساحة المستطيل: م=أ×ب، لينتج أن: م=24×12، ومنه مساحة المستطيل: م=288م².

حساب محيط المستطيل إذا عُلمت أطوال أضلاعه

ما هو محيط مستطيل أطوال أضلاعه هي 10سم، و5سم؟

الحل:

• تعويض قيمة الطول والعرض في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ ب)، لينتج أن: ح=2(10 5)، ومنه محيط المستطيل:ح=30سم.

حساب طول المستطيل إذا عُلمت مساحته وعرضه

مستطيل مساحته 96 سم²، إذا كان عرضه 16سم فما هو طوله؟

الحل:

• تعويض قيمة المساحة والطول في قانون مساحة المستطيل: م=أ×ب، 96=أ×16، أ=96/16، ومنه طول المستطيل: أ=6سم.

حساب أبعاد المستطيل

مثال 1: سلك طوله 42 سم، تم ثنيه على شكل مستطيل عرضه ضعفي طوله، ما هي أبعاد هذا المستطيل؟

الحل:

• العرض =2×الطول وفق معطيات السؤال، وبالرموز: ب=2×أ.
• تعويض قيمة المحيط والعرض في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ ب)، 42=2(أ 2×أ)، 42=6×أ، ومنه طول المستطيل:أ=7سم.
• تعويض قيمة الطول لإيجاد قيمة العرض، ب=2×أ، ب=2×7، ومنه عرض المسطيل: ب=14سم.

مثال 2: المستطيل (دهـ وز)، طول دهـ= 12سم، وطول هـ و= 5سم، ما هو طول د ز، ز و؟

الحل:

• أضلاع المستطيل المتقابلة متوازية ومتساوية في الطول، ومنه دهـ= ز و= 12سم، هـ و= د ز= 5سم.

مثال 3: مستطيل طوله يزيد 4سم عن ضعفي عرضه، ومحيطه 32سم، ما هي أبعاد هذا المستطيل؟

الحل:

• الطول=2×العرض 4، وبالرموز: أ=2ب 4 وفق معطيات السؤال.
• تعويض قيمة الطول في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ ب)، 32=2((2ب 4) ب)، 32= 6ب 8، وبترتيب المعادلة: 6ب=24، ومنه عرض المستطيل: ب=4سم.
• تعويض قيمة العرض لإيجاد قيمة الطول، أ=2ب 4، أ=2×4 4، ومنه طول المستطيل أ=12سم.

حساب قيمة زاوية في المستطيل

المستطيل (دهـ وز) له قطر يمتد من د إلى و ليشكّل المثلث قائم الزاوية دزو، إذا كان قياس الزاوية زدو: (20 2س)، وقياس الزاوية دوز: (3س)، ما هي قيمة س؟

الحل:

• قطرا المستطيل يقسماه إلى مثلثين متطابقين قائمين هما: (دزو)، (دهـ و)، ومجموع زوايا المثلث=180، ومنه 90 (20 2س) (3س)=180، 5س=70، ومنه قيمة س=14.

حساب طول قطر المستطيل

مثال 1: المستطيل (دهـ وز) له قطران يتقاطعان في النقطة ج، يمتد القطرالأول من د إلى و وطوله 26سم، ويمتد الآخر من هـ إلى ز، ما هو طول القطر هـ ز، وما هو طول نصف القطرهـ ج؟

الحل:

• طول القطر هـ ز= طول القطر د و= 26سم.
• أقطار المستطيل تنصّف بعضها البعض عند نقطة التقاطع، ومنه هـ ج=ج ز= 26/2، ومنه طول نصف القطر هـ ج= 13سم.

مثال 2: مستطيل طول قطره 5سم ما هو طول قطره الثاني؟

الحل:

• أقطار المستطيل متساوية في الطول، ومنه طول القطر الأول=طول القطر الثاني=5سم.

حالات خاصة من المستطيل

من الحالات الخاصّة للمستطيل ما يأتي:

• المربع: يعرف المربع بأنه عبارة عن مستطيل لكن جميع أضلاعه متساوية في الطول .
• مستطيل فيبوناتشي: وهو مستطيل تكون نسبة طوله إلى عرضه هي 1.618، أي أن طوله أكبر من عرضه بـ 1.618 مرة؛ فمثلاً لو كان طول المستطيل 2 فإن عرضه هو: 1.618×2=3.236، ويُسمّى هذا المستطيل أيضاً بالمُستطيل الذهبي لأن نسبته هي النسبة الذهبية 1.618.