تعريف المضلعات
يُعرف المضلع (بالإنجليزية: Polygon) بأنّه أي شكل مغلق ثنائي الأبعاد يتشكل من خطوط مستقيمة، عددها ثلاث أو أكثر، تتقاطع عند نهايتها فقط، ومن الأمثلة الشهيرة عليه: المثلث، والرباعي، والخماسي، والسداسي، وقد اشتقت كلمة مضلع (Polygon) من كلمة يونانية تعني العديد من الزوايا أو متعدد الزوايا.
كيفية تسمية المضلعات
تتم تسمية المضلعات عن طريق تسمية كل رأس أو زاوية بحرف عربي أو إنجليزي، ثم قراءة الأحرف بالتحرك باتجاه عقارب الساعة أو بعكسها؛ فمثلاً إذا كانت أسماء رؤوس أحد المضلعات على التوالي: أ ، ب، جـ، د فإن المضلع يُعرف وقتها باسم المضلع أب جـ د، أو دجـ ب أ، ويجدر بالذكر هنا أن الدائرة، وغيرها من الأشكال الهندسية التي تمتلك أجزاءً منحنية لا تُعتبر من المضلعات، كما أن جميع الأشكال ثلاثية الأبعاد لا تعتبر من المضلعات.
كيفية معرفة عدد جوانب المضلع
يتم عادة معرفة عدد جوانب المضلع من اسمه؛ فالشكل الذي يمكن رسمه من خلال ربط ثلاثة خطوط مستقيمة يُسمّى مثلثاً، والشكل الذي يمكن رسمه من خلال ربط أربعة خطوط مستقيمة يُسمّى رباعياً، أما إذا كان الشكل يحتوي على خطوط منحنية، أو لا تتصل الخطوط فيه بشكل كامل لتكوّن شكلاً مغلقاً، فلا يمكن تسميته بالمضلع أبداً.
ويمكن للمضلعات أن تكون معقدة وأن تتكوّن من عدد كبير من الأضلاع والحواف؛ حيث يمكن لبعض المضلعات أن تمتلك أربع حواف أو أضلاع، او 44 ضلعاً، أو حتى 444 ضلعاً.
مصطلحات متعلقة بالمضلعات
للمضلعات عدة أجزاء ومصطلحات متعلقة بها هي:
- الزاوية: هي المنطقة المحصورة بين ضلعين من أضلاع المضلع مرسومان من النقطة ذاتها، وتنقسم إلى زوايا داخلية تقع داخل المضلع، وأخرى خارجية تقع بين امتداد أحد أضلاعه وبين الضلع الآخر المجاور له.
- الجانب (Side): أي خط (ضلع) من الخطوط المستقيمة التي تشكّل المضلع، وفي العادة يتساوى عدد زوايا المضلع مع عدد أضلاعه.
- القمة أو الرأس (Vertex): هي نقطة التقاء أي جانبين (ضلعين) من الجوانب لتشكيل زاوية بينهما.
- القطر (Diagonal): الخط الواصل بين أي رأسين غير متجاورين.
- المحيط (Perimeter): مجموع طول جميع جوانب المضلع.
- المساحة (Area): المنطقة المحصورة داخل المضلع.
أنواع المضلعات
هناك عدة أنواع للمضلعات، وهي:
- متساوي الأضلاع: مضلع جميع جوانبه متساوية في الطول.
- متساوي الزوايا: مضلع جميع زواياه متساوية.
- المضلع المنتظم: هو المضلع المتساوي الأضلاع والزوايا، ويمكن حساب قياس الزوايا المتساوية في هذا النوع عن طريق استخدام القانون الآتي: قياس الزوايا الداخلية = (ن-2)×180÷ن؛ حيث: ن هي عدد أضلاع المضلع.
- المضلع المحدّب: يعتبر المضلع محدباً إذا إذا كانت جميع زواياه الداخلية أقل من 180 درجة.
- المضلع المقعّر: يعتبر المضلع محدباً إذا إذا كانت إحدى زواياه الداخلية أكبر من 180 درجة.
- المضلع البسيط: وهو الذي لا تتقاطع جوانبه أو أضلاعه معاً.
- المضلع المعقّد: وهو الذي تتقاطع جوانبه أو أضلاعه معاً.
أمثلة على المضلعات
من أكثر أنواع المضلعات شيوعاً ما يلي:
- المضلعات الثلاثية، ويساوي مجموع زواياها الداخلية 180 درجة، وهي المثلثات على اختلاف أنواعها؛ مثل المثلثات متساوية الأضلاع، أو الساقين، أو غيرها.
- المضلعات الرباعية، ويساوي مجموع زواياها الداخلية 360 درجة، ومن أشهرها:
- متوازي الأضلاع (Parallelogram): مضلع رباعي (له أربعة جوانب أو أضلاع)، وكل جانبين فيه متوازيان ومتساويان.
- المعين (Rhombus): متوازي أضلاع جوانبه الأربعة متساوية.
- المستطيل (Rectangle): هو متوازي أضلاع تكون جميع الزوايا فيه قائمة.
- المربع (Square): هو مستطيل جميع جوانبه متساوية.
- شبه المنحرف (Trapezoid): من خصائص شبه المنحرف أنه مضلع فيه ضلعان متوازيان، وجميع أضلاعه وزاوياه غير متساوية.
- ملاحظة: يمكن معرفة مجموع الزوايا الداخلية لأي مضلع باستخدام القانون الآتي: مجموع الزوايا الداخلية = (عدد الأضلاع -2)×180؛ فمثلاً مجموع الزوايا الداخلية للشكل الخماسي = (5-2)×180 = 540 درجة.
كيفية حساب محيط ومساحة المضلع
وفيما يأتي طريقة حساب محيط ومساحة المضلع:
حساب محيط المضلع
يتم حساب محيط المضلع من خلال جمع أطوال جميع جوانبه ، أو أضلاعه وهو يعبّر عن المسافة المحيطة به، وتستخدم الوحدات الخطية لقياس المحيط، مثل: المتر، أو الميل، أو البوصة، أو القدم، ويمكن حساب محيط المضلع المنتظم باستخدام القانون الآتي:
- محيط المضلع المنتظم = عدد أضلاع المضلع× طول الضلع الواحد، وبالرموز: محيط المضلع = ن×س؛ حيث: ن: عدد أضلاع المضلع، س: طول ضلع المضلع.
- محيط المضلع غير المنتظم = مجموع أطوال أضلاعه.
حساب مساحة المضلع
يتم قياس مساحة المضلع بالوحدات المربعة، مثل: المتر المربع، أو القدم المربع، وغيرها، ومساحة أي مضلع هي عدد الوحدات المربّعة المحصورة داخل الشكل، ويمكن حساب مساحة المضلع المنتظم باستخدام أحد القوانين الآتية:
- المساحة = (طول الضلع²×عدد الأضلاع)/(4×ظا(180/عدد الأضلاع))، وبالرموز: م = (س²×ن)/(4×ظا(180/ن))؛ حيث:
- ن: عدد أضلاع المضلع، س: طول الضلع.
- فمثلاً لو كان طول ضلع أحد المضلعات السباعية يساوي 7سم، فإن مساحته = ((7)²×7)/(4×ظا(180/7)) = 343/1.92 = 178سم².
- المساحة = (المسافة من مركز المضلع إلى أحد رؤوسه²×عدد الأضلاع×جا(360/عدد الأضلاع))/2، وبالرموز: م = (ق²×ن×جا(360/ن))/2؛ حيث:
- ن: عدد أضلاع المضلع، ق: طول المسافة الواصلة بين مركز المضلع وأحد رؤوسه.
- فمثلاً لو كان طول المسافة من مركز أحد المضلعات إلى أحد رؤوسه يساوي 7سم، وعدد اضلاعه هو 9؛ فإن مساحته = (7)²×9×جا(360/9)/2 = (441×0.64)/2 = 141سم².
- المساحة = المسافة العمودية من مركز المضلع إلى أحد أضلاعه²×عدد الأضلاع×ظا(180/عدد الأضلاع)، وبالرموز: م = و²×ن×ظا(180/ن)؛ حيث:
- ن: عدد أضلاع المضلع، و: طول المسافة العمودية من مركز المضلع إلى أحد أضلاعه.
- فمثلاً لو كان طول المسافة العمودية من مركز أحد المضلعات السداسية إلى أحد أضلاعه يساوي 3√10سم، فإن مساحته = (3√10)²×6×ظا(180/6) = 300×6×0.577 = 1,039.2سم².
أما بالنسبة لمساحة المضلع غير المنتظم فيمكن حسابها عن طريق تقسيمه إلى عدة أجزاء يسهل حساب مساحته؛ مثل المثلثات والمربعات وغيرها، ثم حساب مساحة كل منها على حدة، ثم جمعها معاً للحصول على كامل مساحة الشكل الهندسي.
الخلاصة:
أصل كلمة المضلعات هي الكلمة اليونانية "Polygon" والتي تعني متعدد الزوايا، والمضلعات هي أي شكل مغلق ثنائي الأبعاد يتشكل من خطوط مستقيمة، عددها ثلاث أو أكثر، تتقاطع عند نهايتها فقط، من أشهرها المربع والمستطيل والمثلث.
