خطوات حساب الوسيط
يُمكن تعريف الوسيط (بالإنجليزية: Median) بأنّه القيمة الوسطى بين أعداد مُرتبة ترتيبًا تنازليًا أو تصاعديًا في قائمة بيانات معينة، يستخدم الوسيط الحسابي في علم الإحصاء ويُعد أحد مقاييس النزعة المركزية إلى جانب المتوسط الحسابي والمنوال، وقد يخلط بعض الطلاب بين المتوسط والوسيط الحسابي، ولكن المتوسط الحسابي هو معدل البيانات المُعطاة أي مجموع قيمها على عددها الإجمالي، بينما الوسيط هو القيمة الوسطى لهذه البيانات المرتبة، ويُحسب الوسيط بالخطوات الآتية:
حساب الوسيط لمجموعة بيانات
يُمكن حساب الوسيط لمجموعة من البيانات بترتيب القيم المُعطاة ترتيبًا تصاعديًّا أي من الأصغر إلى الأكبر، ثم عد القيم لتحديد ما إذا كان عددها فرديًا أو زوجيًا، ثم تُتبّع الخطوات الآتية:
إذا كان عدد القيم فرديًا:
فإنّ الوسيط هو القيمة الموجودة في منتصف القائمة المُرتبة، ويُمكن تحديد مكانها أو رتبتها بين القيم بالقانون الآتي:
رتبة الوسيط = (عدد المشاهدات 1)/ 2
على سبيل المثال: ما هو الوسيط للبيانات الآتية: 5، 6، 8، 1، 7
خطوات الحل:
- نُرتب البيانات من الأصغر للأكبر على النحو الآتي:
- 1، 5، 6، 7، 8
- نحسب عدد البيانات أو المشاهدات، ويساوي 5 وهو عدد فردي.
- نُحدد مكان الوسيط أو ترتيبه بين البيانات:
- رتبة الوسيط = (عدد المشاهدات 1)/ 2
- رتبة الوسيط = (5 1)/ 2 = 6/2 = 3
- رتبة الوسيط = 3، أي أنّ الوسيط هو القيمة الثالثة وهي العدد 6.
- الوسيط = 6
إذا كان عدد القيم زوجيًا:
فإنّ الوسيط هو المتوسط الحسابي للقيمتين الموجودتين في وسط القائمة المُرتبة، ويُمكن تحديد مكان القيمتين أو ترتيبهما بين القيم بالقانون الآتي:
رتبة قيمة الوسيط الأولى = عدد المشاهدات/ 2، ورتبة قيمة الوسيط الثانية = (ترتيب القيمة الأولى 1).
أو:
رتبة قيمة الوسيط الأولى = عدد المشاهدات/ 2، ورتبة قيمة الوسيط الثانية= (عدد المشاهدات/ 2) 1
نحسب المتوسط الحسابي للقيمتين بالقانون الآتي:
المتوسط الحسابي= (قيمة الوسيط الأولى قيمة الوسيط الثانية) / 2
على سبيل المثال: ما هو الوسيط للبيانات الآتية: 6، 10، 8، 1، 9، 3
خطوات الحل:
- نُرتب البيانات من الأصغر للأكبر كالآتي:
- 1، 3، 6، 8، 9، 10
- نحسب عدد البيانات أو المشاهدات، ويساوي 6 وهو عدد زوجي.
- نُحدد مكان الوسيط أو ترتيبه بين البيانات:
- رتبة قيمة الوسيط الأولى= عدد المشاهدات/ 2
- رتبة قيمة الوسيط الأولى= 6/ 2 = 3.
- رتبة قيمة الوسيط الثانية: ( رتبة قيمة الوسيط الأولى 1)= 3 1 = 4.
- قيمة الوسيط الأولى التي تقع في الترتيب 3 هي: 6.
- قيمة الوسيط الثانية التي تقع في الترتيب 4 هي: 8.
- المتوسط الحسابي للقيمتين= (قيمة الوسيط الأولى قيمة الوسيط الثانية) / 2
- المتوسط الحسابي= (6 8) / 2
- المتوسط الحسابي= 14/ 2 = 7
- إذًا الوسيط = 7.
تعد قوانين النزعة المركزية من أهم قوانين الرياضيات في الإحصاء وتضم قانون الوسيط والذي يُعرّف بأنّه القيمة الوسطى بين بيانات قائمة مُرتبة تصاعديًا، ويُمكن تحديد الوسيط بعد ترتيب القائمة تصاعديًا بأنّه إذا كان عدد القيم فرديًا يكون الوسيط هو العدد التي يقع في منتصف القائمة، وإذا كان عدد القيم زوجيًا يكون الوسيط هو المتوسط الحسابي للعددين الأوسطين، ويُحدد ترتيبهما بالقانون: عدد البيانات/2، فيكون الوسيط لقيمة العدد الذي يقع في هذا الترتيب والعدد الذي يليه.
حساب الوسيط في الجداول التكرارية
ولحساب الوسيط من الجدول التكراري يُمكن اتّباع الخطوات الآتية:
لحساب الوسيط في جدول تكراري بدون الفئات
لحساب الوسيط في جدول تكراري بدون فئات يُمكن اتباع الخطوات الآتية:
- نحسب مجموع التكرارات.
- نجد التكرار التراكمي لكل فئة بالقانون الآتي:
التكرار التراكمي لكل فئة = مجموع كل التكرارات السابقة التكرار الحالي
- نحسب رتبة قيمة الوسيط، إذا كان عدد مجموع التكرارات زوجيًا نُطبق القانون:
رتبة قيمة الوسيط الأولى = عدد المشاهدات/ 2
ورتبة قيمة الوسيط الثانية = رتبة القيمة الأولى 1
- نُحدد الوسيط من قانون المتوسط الحسابي للقيمتين:
الوسيط = المتوسط الحسابي= (قيمة الوسيط الأولى قيمة الوسيط الثانية) / 2
- إذا كان عدد مجموع التكرارات فردي نُطبق القانون:
رتبة الوسيط = (عدد المشاهدات 1)/ 2
- ثم نُحدد الوسيط حسب موقع رتبة الوسيط.
لحساب الوسيط في جدول تكراري في حالة الفئات
ولحساب الوسيط في حالة الفئات في جدول تكراري يُمكن اتباع الخطوات الآتية:
- نحسب مجموع التكرارات.
- نجد التكرار التراكمي لكل فئة.
- نحسب رتبة الوسيط من القانون الآتي:
رتبة الوسيط = مجموع التكرارات /2
- نُحدد الفئة الوسيطية من خلال رتبة الوسيط.
- نُطبق قانون الوسيط وهو كالآتي:
الوسيط = الحد الأدنى للفئة الوسيطية ((رتبة الوسيط - التكرار التراكمي للفئة التي تسبق الفئة الوسيطية)/ (تكرار الفئة الوسيطية)) × طول الفئة الوسيطية
يُحسب الوسيط أيضًا للبيانات المجمعة في جدول تكراري، فإن وضعت البيانات في جدول تكراري بدون فئات فإننّا نقوم بإيجاد التكرار التراكمي ثم إيجاد رتبة الوسيط بحسب قوانين رتب الوسيط للمجموع الفردي أو الزوجي، وتحديد موقع رتبة الوسيط بين المجموع التراكمي ثم إيجاد الوسيط، إمّا إذا وضعت البيانات في جدول تراكمي في حالة الفئات فإننّا نقوم بإيجاد المجموع التراكمي ثم إيجاد رتبة الوسيط بقسمة مجموع التكرارات على 2، ثم نُطبق قانون الوسيط وهو الوسيط = الحد الأدنى للفئة الوسيطية ((رتبة الوسيط - التكرار التراكمي للفئة التي تسبق الفئة الوسيطية)/ (تكرار الفئة الوسيطية)) × طول الفئة الوسيطية.
مسائل متنوعة على حساب الوسيط
المسألة الأولى: إذا كانت القيم التالية: (95، 76، 88، 82، 63، 100، 70) تُمثّل علامات 7 طلاب في مادّة اللغة العربية، فأوجد الوسيط لهذه العلامات.
الحل:
- نُرتب القيم ترتيبًا تصاعديًا:
- 63، 70، 76، 82، 88، 95، 100
- نُلاحظ أنّ عدد القيم يساوي 7، وهو عددًا فرديًا.
- نُحدد مكان الوسيط أو ترتيبه بين البيانات:
- ترتيب الوسيط = (عدد المشاهدات 1)/ 2
- ترتيب الوسيط = (7 1)/ 2 = 8/2 = 4
- ترتيب الوسيط = 4، أي أنّ الوسيط هو القيمة الرابعة وهي العدد 82.
- الوسيط = 82.
المسألة الثانية: إذا كانت القيم التالية: (15، 9، 3، 12، 7، 4، 2، 17) تُمثّل أعمار أطفال إحدى العائلات، فما هو العمر الوسيط لهذه العائلة؟
الحل:
- نُرتب القيم ترتيبًا تصاعديًا:
- 2، 3، 4، 7، 9، 12، 15، 17
- نُلاحظ أنّ عدد القيم يساوي 8، وهو عدد زوجي.
- نُحدد مكان الوسيط أو ترتيبه بين البيانات:
- ترتيب قيمة الوسيط الأولى= عدد المشاهدات/ 2 = 8/2 = 4.
- ترتيب قيمة الوسيط الثانية: (ترتيب قيمة الوسيط الأولى 1)= 4 1 = 5.
- قيمة الوسيط الأولى التي تقع في الترتيب 4 تساوي 7.
- قيمة الوسيط الثانية التي تقع في الترتيب 5 تساوي 9.
المتوسط الحسابي للقيمتين= (قيمة الوسيط الأولى قيمة الوسيط الثانية) / 2
- المتوسط الحسابي= (7 9)/ 2
- المتوسط الحسابي= 16/ 2 = 8
- إذًا الوسيط = 8.
المسألة الثالثة: يُمثل الجدول التكراري الآتي أوزان 16 شخصًا، أوجد وسيط هذه الأوزان.
| الوزن | التكرار |
| 58 | 2 |
| 59 | 3 |
| 60 | 5 |
| 61 | 4 |
| 62 | 1 |
| 63 | 1 |
الحل:
- نحسب أولًا مجموع التكرارات: 2 3 5 4 1 1= 16
- نجد التكرار التراكمي بالقانون الآتي:
التكرار التراكمي لكل فئة = مجموع كل التكرارات السابقة التكرار الحالي
- التكرار التراكمي للوزن 58= 2 0 = 2
- التكرار التراكمي للوزن 59= 2 3 = 5
- التكرار التراكمي للوزن 60= 5 5 = 10
- التكرار التراكمي للوزن 61= 10 4= 14
- التكرار التراكمي للوزن 62= 14 1= 15
- التكرار التراكمي للوزن 63= 15 1= 16
- نحسب رتبة قيمة الوسيط، ونُلاحظ أنّ مجموع التكرارات يساوي 16 وهو عدد زوجي إذًا:
- رتبة قيمة الوسيط الأولى = عدد المشاهدات/ 2 = 16/2 = 8
- ورتبة قيمة الوسيط الثانية = رتبة القيمة الأولى 1= 8 1 = 9
| الوزن | التكرار | التكرار التراكمي |
| 58 | 2 | 2 |
| 59 | 3 | 5 |
| 60 | 5 | 10 |
| 61 | 4 | 14 |
| 62 | 1 | 15 |
| 63 | 1 | 16 |
| المجموع | 16 | 16 |
- نُلاحظ أن قيمة الوسيط الأولى التي تقع في الترتيب 8 تساوي 60
- نُلاحظ أن قيمة الوسيط الأولى التي تقع في الترتيب 9 تساوي 60
- إذًا نحسب الوسيط من المتوسط الحسابي للقيمتين= (قيمة الوسيط الأولى قيمة الوسيط الثانية) / 2
- الوسيط = (60 60)/2 = 60
- الوسيط = 60
المسألة الرابعة: يُمثل الجدول التكراري التالي أعمار 13 طفلًا في إحدى الحضانات، أوجد الوسيط.
| الوزن | التكرار |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 4 |
| 4 | 1 |
الحل:
- نحسب أولًا مجموع التكرارات: 3 5 4 1 = 13
- نجد التكرار التراكمي بالقانون الآتي:
التكرار التراكمي لكل فئة = مجموع كل التكرارات السابقة التكرار الحالي
- التكرار التراكمي للعمر 1= 3 0 = 3
- التكرار التراكمي للعمر 2= 3 5 = 8
- التكرار التراكمي للعمر 3= 8 4 = 12
- التكرار التراكمي للعمر 4= 12 1= 13
- نحسب رتبة قيمة الوسيط، نُلاحظ أنّ مجموع التكرارات يساوي 13 وهو عدد فردي إذًا:
- رتبة الوسيط = (عدد التكرارات 1)/ 2 = (13 1)/2 = 7
| الوزن | التكرار | التكرار التراكمي |
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 5 | 8 |
| 3 | 4 | 12 |
| 4 | 1 | 13 |
| المجموع | 13 | |
- نُحدد قيمة الوسيط التي تقع في الترتيب 7 وتساوي 2.
- الوسيط = 2
المسألة الخامسة: يُمثل الجدول التالي فئات رواتب موظفين إحدى الشركات مع تكرارها، أوجد الوسيط.
| رواتب الموظفين | التكرار |
| 200-300 | 3 |
| 300-400 | 4 |
| 400-500 | 6 |
| 500-600 | 7 |
| 600-700 | 11 |
| 700-800 | 7 |
| 800-900 | 2 |
الحل:
- نحسب مجموع التكرارات والتكرار التراكمي لكل فئة كما هو موضح في الجدول الآتي:
| رواتب الموظفين | التكرار | التكرار التراكمي |
| 200-300 | 3 | 3 0 = | 3 |
| 300-400 | 4 | 4 3 = | 7 |
| 400-500 | 6 | 6 7 = | 13 |
| 500-600 | 7 | 7 13 = | 20 |
| 600-700 | 11 | 11 20 = | 31 |
| 700-800 | 7 | 7 31 = | 38 |
| 800-900 | 2 | 2 38 = | 40 |
| المجموع | 40 | | 40 |
- نحسب رتبة الوسيط:
- رتبة الوسيط = 40/2 = 20
- نُحدد الفئة الوسيطية من خلال رتبة الوسيط:
- الفئة التي لديها مجموع تكرار تراكمي يساوي 20 هي: 500-600
- نُطبق قانون الوسيط وهو كالآتي:
الوسيط = الحد الأدنى للفئة الوسيطية ((رتبة الوسيط - التكرار التراكمي للفئة التي تسبق الفئة الوسيطية)/ (تكرار الفئة الوسيطية)) × طول الفئة الوسيطية
- الحد الأدنى للفئة الوسيطية 500-600 هو 500.
- رتبة الوسيط = 20.
- التكرار التراكمي للفئة التي تسبق الفئة الوسيطية: أي التكرار التراكمي للفئة التي تسبق الفئة (500-600) وهي الفئة (400-500) ويساوي تكرارها التراكمي 13.
- إذًا التكرار التراكمي للفئة التي تسبق الفئة الوسيطية = 13.
- تكرار الفئة الوسيطية: أي تكرار الفئة (500-600) يساوي 7. (ننتبه هنا أنّه تكرار الفئة وليس التكرار التراكمي لها)
- إذًا تكرار الفئة الوسيطية= 7.
- طول الفئة الوسيطية: أي طول الفئة (500-600) = 600-500 = 100.
- طول الفئة الوسيطية = 100.
- نعوض القيم في القانون الآتي:
الوسيط = الحد الأدنى للفئة الوسيطية ((رتبة الوسيط - التكرار التراكمي للفئة التي تسبق الفئة الوسيطية)/ (تكرار الفئة الوسيطية)) × طول الفئة الوسيطية
- الوسيط = 500 ((20 - 13)/(7)) × 100
- الوسيط = 500 (7/7) × 100
- الوسيط = 500 1 × 100
- الوسيط = 600
