خطوات حساب المتوسط الحسابي
المتوسط الحسابي (بالإنجليزية: Arithmetic Mean) أو ما يُعرف باسم الوسط الحسابي أو المعدل هو المقياس الأكثر استخدامًا وشهرة من مقاييس النزعة المركزية، ويُستخدم مع مختلف أنواع البيانات المنفصلة والمستمرة، وتتعدد خصائص المتوسط الحسابي ، وتبرز أهميته في علم الإحصاء، وفيما يلي شرح المتوسط الحسابي وكيفية حسابه لجميع أنواع البيانات:
حساب المتوسط الحسابي لمجموعة بيانات
يمكن تعريف المتوسط الحسابي على أنه مجموع قيم البيانات مقسوم على عددها، ويُحسب المتوسط الحسابي للبيانات بالخطوات التالية:
- نجمع جميع قيم البيانات المعطاة.
- نقسم المجموع على العدد الإجمالي للبيانات.
- يكون ناتِج القسمة هو المتوسط الحسابي.
ويُعبر عن المتوسط الحسابي بالصيغة الرياضية التالية:
- المتوسط الحسابي = مجموع القيم / عدد القيم الإجمالي.
- م = (س1 س2 س3 ...... س ن) / ن
حيث إنّ:
- م: المتوسّط الحسابي.
- س: قيمة البيانات المعطاة.
- ن: عدد القيم الإجمالي.
حساب المتوسط الحسابي في الجداول التكرارية
وإذا كان لدينا مجموعة من القيم، وبعض هذه القيم مُكررة فيُمكن تجميعها في جدول تكراري، بحيث نضع كل فئة في خانة وبجانبها خانة توضح عدد تكرار القيمة، وبذلك يُمكن حساب المتوسط الحسابي للفئات بالخطوات التالية:
- إيجاد مركز كل فئة من الفئات بالقانون التالي:
- مركز الفئة (م)= (الحد الأعلى للفئة الحد الأدنى للفئة)/ 2.
- ضرب مركز كل فئة في تكرارها (مركز الفئة × التكرار الذي يقابل الفئة).
- إيجاد مجموع حاصل ضرب مركز كل فئة في تكرارها.
- إيجاد مجموع التكرارات الكلي.
- إيجاد المتوسط الحسابي باستخدام الصيغة الرياضية التالية:
- المتوسط الحسابي = مجموع حاصل ضرب مركز كل فئة بتكرارها/ مجموع التكرارات.
- م = (س × ت)∑ / ن.
حيث إنّ:
- م: المتوسّط الحسابي.
- س: مركز الفئة.
- ت: تكرار كل مركز فئة.
- ن: مجموع التكرارات.
مسائل متنوعة على حساب المتوسط الحسابي
ندرج فيما يلي مسائل متنوعة على حساب المتوسط الحسابي:
مسائل على حساب المتوسط الحسابي لمجموعة بيانات
- حصل أحمد في نهاية الفصل الدراسي على العلامات الآتية: الرياضيات: 76%، العلوم: 88%، اللغة العربية: 89%، اللغة الإنجليزية: 95%، الاجتماعيات: 92%، احسب معدل أو المتوسط الحسابي لعلامات الطالب أحمد.
- المتوسط الحسابي = مجموع القيم / عدد القيم الإجمالي.
- المتوسط الحسابي = مجموع العلامات / عدد المواد.
- مجموع القيم= 76 88 89 95 92 = 440
- عدد المواد = 5 مواد.
- المتوسط الحسابي = مجموع العلامات / عدد المواد.
- المتوسط الحسابي = 440 / 5.
- المتوسط الحسابي = 88.
- وبالتالي معدل أحمد لهذا الفصل 88%.
- فريق كرة سلة يتكون من 8 لاعبين، إذا كان المتوسط الحسابي لطول اللاعبين يساوي 1.82م، وكان طول كل لاعب على النحو التالي: 1.9م، 1.8م، 1.85م، 1.7م، 1.77م، 1.86م، 1.92م، س ، فما هو طول اللاعب الثامن (س)؟
- المتوسط الحسابي = مجموع أطوال اللاعبين / عدد اللاعبين
- مجموع أطوال اللاعبين = 1.9 1.8 1.85 1.7 1.77 1.86 1.92 س = 12.8 س
- عدد اللاعبين = 8 لاعبين.
- المتوسط الحسابي = 1.82
- المتوسط الحسابي = مجموع أطوال اللاعبين / عدد اللاعبين
- 1.82 = (12.8 س) / 8
- 14.56 = 12.8 س
- س = 1.76
- وبالتالي طول اللاعب الثامن 1.76 متر.
مسائل على حساب المتوسط الحسابي في الجداول التكرارية
يُبين الجدول التالي توزيع 50 عامل حسب أجورهم اليومية، أوجد المتوسط الحسابي للأجور اليومية للعمال.
| أجر العامل بالدينار | التكرار (عدد العمال) |
| 220 | 8 |
| 250 | 8 |
| 300 | 9 |
| 350 | 11 |
| 400 | 6 |
| 450 | 5 |
| 500 | 3 |
- نُلاحظ أنّه لا يوجد مركز فئة لأنّ أجور العمال مُحددة.
- ننجد حاصل ضرب مركز كل فئة بتكرارها، ثم نجد مجموع حاصل ضرب مركز كل فئة بتكرارها، ونجد مجموع جميع التكرارات، على النحو التالي:
| أجر العامل بالدينار | التكرار (عدد العمال) | أجر العامل × التكرار |
| 220 | 8 | 220 × 8 = | 1760 |
| 250 | 8 | 250 × 8 = | 2000 |
| 300 | 9 | 300 × 9 = | 2700 |
| 350 | 11 | 350 × 11 = | 3850 |
| 400 | 6 | 400 × 6 = | 2400 |
| 450 | 5 | 450 × 5 = | 2250 |
| 500 | 3 | 500 × 3 = | 900 |
| المجموع | 50 | | 15860 |
- نجد المتوسط الحسابي:
- المتوسط الحسابي = مجموع حاصل ضرب الأجور بتكرارها/ مجموع التكرارات.
- المتوسط الحسابي = 15860 / 50
- المتوسط الحسابي = 317.2
يُبين الجدول التالي توزيع علامات 100 طالب في اختبار اللغة العربية، أوجد المتوسط الحسابي للعلامات.
| فئات العلامات | التكرار (عدد الطلاب) |
| 10-19 | 0 |
| 20-29 | 5 |
| 30-39 | 11 |
| 40-49 | 15 |
| 50-59 | 17 |
| 60-69 | 19 |
| 70-79 | 20 |
| 80-89 | 8 |
| 90-99 | 5 |
- نحسب أولاً مركز كل فئة من الفئات، والذي يساوي:
- مركز الفئة (م)= (الحد الأعلى للفئة الحد الأدنى للفئة)/2.
- مركز الفئة 1 = (19 10)/2 = 14.5
- مركز الفئة 2 = (29 20)/2 = 24.5
- مركز الفئة 3 = (39 30)/2 = 34.5
- مركز الفئة 4 = (49 40)/2 = 44.5
- مركز الفئة 5 = (59 50)/2 = 54.5
- مركز الفئة 6 = (69 60)/2 = 64.5
- مركز الفئة 7 = (79 70)/2 = 74.5
- مركز الفئة 8 = (89 80)/2 = 84.5
- مركز الفئة 9 = (99 90)/2 = 94.5
- نجد حاصل ضرب مركز كل فئة بتكرارها، ثم نجد مجموع حاصل ضرب مركز كل فئة بتكرارها، ونجد مجموع جميع التكرارات، على النحو التالي:
| فئات العلامات | التكرار (عدد الطلاب) | مركز الفئة | مركز الفئة × التكرار |
| 10-19 | 0 | 14.5 | 14.5 × 0 = | 0 |
| 20-29 | 5 | 24.5 | 24.5 × 5 = | 122.5 |
| 30-39 | 11 | 34.5 | 34.5 × 11 = | 379.5 |
| 40-49 | 15 | 44.5 | 44.5 × 15 = | 667.5 |
| 50-59 | 17 | 54.5 | 54.5 × 17 = | 926.5 |
| 60-69 | 19 | 64.5 | 64.5 × 19 = | 1225.5 |
| 70-79 | 20 | 74.5 | 75.5 × 20 = | 1490 |
| 80-89 | 8 | 84.5 | 84.5 × 8 = | 676 |
| 90-99 | 5 | 94.5 | 94.5 × 5 = | 472.5 |
| المجموع | 100 | | | 5960 |
- نجد المتوسط الحسابي:
- المتوسط الحسابي = مجموع حاصل ضرب مركز كل فئة بتكرارها/ مجموع التكرارات.
- المتوسط الحسابي = 5960 / 100
- المتوسط الحسابي = 59.60
الخلاصة
المتوسط الحسابي هو أحد مقاييس النزعة المركزية في علم الإحصاء وأشهرها، ويُمثل مجموع القيم الكلي لمجموعة قيم ما مقسمومًا على عددها الإجمالي، وإذا كانت القيم تمتلك تكرارات مقابلة فإنّه المتوسط الحسابي يُحسب من خلال جمع حاصل ضرب مركز كل فئة بتكرارها وقسمته على عدد التكرارات الكلي لكل القيم، ولذلك يعد حساب المعدل أهم التطبيقات على المتوسط أو الوسط الحسابي
