حساب الجذر التربيعي لمربع كامل
يمكن تعريف المربّع الكامل بأنّه العدد الناتج عن ضرب عددين صحيحَين متساويَين ببعضهما، ومن الأمثلة على المربعات الكاملة العدد 16 الذي ينتج عن ضرب العدد 4 بنفسه كالآتي 4 × 4 = 16، وبطريقة أخرى فإنّ تربيع أيّ عدد صحيح - أي رفعه للأس 2 - يعطي مربّعًا كاملًا فمثلًا 2 = 4 و 5 = 25 وهما أمثلة على المربّع كامل.
تُحسب الجذور التربيعية بطريقة عكسية لحساب الأسس; أي أنه لحساب الجذر التربيعيّ لمربّع كامل يجب البحث عن العدد الصحيح الذي يُضرب بنفسه أو يُربّع ليعطي العدد المطلوب حساب جذره التربيعيّ، وللجذر التربيعيّ إشارة خاصة يوضع تحتها العدد المراد حساب الجذر التربيعي له وهي " √"، فمثلاً 9√ = 3; أي أنّ الجذر التربيعيّ للمربّع الكامل 9 هو العدد 3.
في الجدول التالي يُذكر جميع المربّعات الكاملة وجذورها التربيعيّة بين العددين 1 و 100 وبعض أشهر المربّعات الكاملة وجذورها وأكثرها استخداماً:
| المربّع الكامل | الجذر التربيعي له |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
| 16 | 4 |
| 25 | 5 |
| 36 | 6 |
| 49 | 7 |
| 64 | 8 |
| 81 | 9 |
| 100 | 10 |
| 121 | 11 |
| 144 | 12 |
| 169 | 13 |
| 196 | 14 |
| 225 | 15 |
| 256 | 16 |
حساب الجذر التربيعي بدون استخدام الآلة الحاسبة
طريقة المعدّل
يمكن حساب الجذور في الرياضيات (الجذور التربيعية للأعداد من غير المربّعات الكاملة) بدون استخدام الآلة الحاسبة بطريقة حساب المعدّل، وفيما يأتي خطوات حساب الجذر التربيعي بالتفصيل باستخدام هذه الطريقة:
- اختيار أقرب مربّعين كاملين يقع بينهما العدد المراد إيجاد جذره التربيعي.
- يكون الجذر التربيعي للعدد محصور بين الجذور التربيعية لهذين المربّعين الكاملين.
- قسمة العدد المراد حساب جذره التربيعي على جذر المربّع الأول.
- يحسب المعدّل بين جذر المربّع الأول وبين ناتج القسمة في الخطوة السابقة.
- يُقسم العدد المراد حساب جذره التربيعيّ على المعدّل الناتج في الخطوة السابقة.
- يحسب المعدّل مرة أخرى بين ناتج القسمة في الخطوة الخامسة والرابعة، ويكون معدّل هاتين القيمتين هو أقرب قيمة للجذر التربيعيّ للعدد المراد حسابه.
وللتوضيح يمكن تطبيق الخطوات السابقة لحساب الجذر التربيعيّ للعدد 10 باتباع الخطوات التالية:
- يقع العدد 10 بين المربّعين الكاملين 9 و 16، وجذورهما على التوالي هي 3 و 4.
- وعليه يكون الجذر التربيعيّ للعدد 10 محصوراً بين العددين 3 و 4.
- يُقسم العدد 10 على الجذر الأول وهو 3 كالآتي:
يُحسب المعدّل بين الجذر التربيعيَ الأول 3 وبين ناتج القسمة السابقة 3.33 كالآتي:
- يُقسم العدد 10 على الناتج السابق كالآتي:
- يُحسب المعدّل بين القيمتين 3.1667 و 3.1579 ويكون الناتج قريبٌ جدًا من الجذر التربيعيّ للعدد 10 وهو 3.1623.
قانون الجذر التربيعي
يمكن حساب الجذر التربيعيّ باستخدام قانون رياضيّ مباشر يعطي قيمة قريبة جداً من قيمة الجذر التربيعيّ الحقيقيّ لأي عدد، وعادة ما يستخدم لحساب الجذور التربيعية للمربّعات غير الكاملة، والقانون هو كما يأتي:
حيث تمثّل هذه الرموز ما يلي:
- X: هو العدد المراد حساب جذره التربيعي.
- S: هو أقرب مربّع كامل للعدد المراد حساب جذره التربيعي.
فعلى سبيل المثال يمكن حساب الجذر التربيعيّ للعدد 39 كالآتي:
- يجب تحديد أقرب مربّع كامل للعدد 39 وهو العدد 36.
- تطبيق قانون الجذر التربيعي المُعطى في المعادلة السابقة كالآتي:
- ناتج المعادلة يساوي 6.25، وهو قريب جدًا من الجذر التربيعيّ الحقيقيّ للعدد 39.
حساب الجذر التربيعي باستخدام آلة حاسبة
توفّر غالبية الآلات الحاسبة الحديثة إمكانية حساب الجذور التربيعيّة للأعداد بكل سهولة وسرعة، وتختلف طريقة حساب الجذور التربيعية في الآلات الحاسبة باختلاف أنواعها؛ فهناك آلات حاسبة عادية وأخرى علمية، ويمكن توضيح طريقة إيجاد الجذر التربيعي باستخدام الآلة الحاسبة كما يأتي:
- اختيار الرمز " √" أو الرمز " Sqrt" الموجود على الآلة الحاسبة.
- كتابة الرقم المراد إيجاد جذره التربيعي، وفي بعض الآلات الحاسبة يُوضع الرقم بين أقواس.
- الضغط على إشارة المساواة الموجودة على الآلة الحاسبة، وستظهر النتيجة.
برامج حساب الجذر التربيعي
من الجدير بالذكر أنّ هناك العديد من التطبيقات والبرامج أو مواقع الإنترنت التي تقدّم خدمة حساب الجذور التربيعية للأعداد وهي عادة ما تكون سريعة ودقيقة وسهلة الاستخدام، لكنّ بعضها يحتاج لتوفّر أجهزة حاسوب أو أجهزة ذكية أو اتصال بالإنترنت.
حساب الجذر التربيعي للعدد السالب
لا يوجد جذور من الأعداد الحقيقية للأعداد السالبة؛ لأنه لا يوجد عددين متماثلين يكون ناتج ضربهما عدد سالب فالجذر التربيعي للعدد 16- لا يمكن أن يكون 4 أو -4، ولكن اصطُلح في الرياضيات على وجود أعداد غير حقيقة تسمّى الأعداد الوهمية (بالإنجليزية: Imaginary Numbers) ويرمز لها بالرمز "i" توضع جانب العدد لتبيّن أنه من الأعداد الوهمية.
تُستخدم الأعداد الوهمية بشكل رئيسيّ لحلّ المعادلات التربيعية ذات المميز السالب مثل المعادلة التالية; " " فعند حل المعادلة نجد أنّه لا يمكن إيجاد عددين ناتج ضربهما 4-، ولهذا فإنّه اصطلح على استخدام قيمة وهمية تمثّل قيمة -1√ وتساوي i، وهذا يعني أنّه يمكن التعبير عن جذور الأعداد السالبة باستخدام الأعداد الوهمية كما يأتي:
يجدر الذكر هنا إلى أنّ هناك أنواع مخصصة من الآلات الحاسبة التي بإمكانها حساب جذور الأعداد السالبة.
أمثلة على حساب الجذر التربيعي
أمثلة على جذور المربّعات الكاملة
فيما يأتي أمثلة متنوّعة على حساب الجذور التربيعية للمربّعات الكاملة:
-
-
-
أمثلة على جذور المربعات غير الكاملة
فيما يأتي أمثلة متنوّعة على حساب الجذور التربيعية للمربّعات غير الكاملة، وبطرق مختلفة:
الطريقة الأولى: قانون الجذر التربيعي
وطريقة الحل تتلخص كما يأتي:
الطريقة الثانية: باستخدام طريقة المعدل
المثال الأوّل
وطريقة الحل كما يأتي:
- يقع العدد 44 بين المربّعين الكاملين 36 و 49، وجذورهما على التوالي هي 6 و 7.
- يكون الجذر التربيعيّ للعدد 10 محصوراً بين العددين 6 و 7.
- يُقسم العدد 44 على الجذر الأول وهو 6، ويكون الناتج 7.333.
- يُحسب المعدّل بين الجذر الأول 6 والناتج السابق 7.333، ويكون الناتج 6.665.
- يقسم العدد 44 على المعدّل السابق 6.665، ويكون الناتج 6.601.
- يُحسب المعدّل للقيمتين 6.601 و 6.665، ويكون الناتج 6.6332. وهي قيمة الجذر التربيعيّ للعدد 44.
المثال الثاني
وطريقة الحل كما يأتي:
- يقع العدد 60 بين المربّعين الكاملين 49 و 64، وجذورهما على التوالي هي 7 و 8.
- وعليه يكون الجذر التربيعيّ للعدد 60 محصوراً بين العددين 7 و 8.
- يُقسم العدد 60 على الجذر الأول وهو 7، ويكون الناتج 8.571.
- يُحسب المعدّل بين الجذر الأول 7 والناتج السابق 8.571، ويكون الناتج 7.785.
- يقسم العدد 60 على المعدّل السابق 7.785، ويكون الناتج 7.701.
- يُحسب المعدّل للقيمتين 7.701 و 7.785، ويكون الناتج 7.743. وهي قيمة الجذر التربيعيّ للعدد 60.
الطريقة الثالثة: باستخدام الآلة الحاسبة
يمكن استخدام الآلة الحاسبة لحساب الجذور التربيعية للأعداد المختلفة، وهي طريقة سهلة وسريعة وتعطي أدقّ النتائج وأقربها للصحّة، وفيما يلي بعض الأمثلة على الجذور التربيعية لغير مربّعات كاملة باستخدام الآلة الحاسبة:
-
-
يجدر الذكر هنا إلى أنّ قيمة الجذر التربيعيّ للعدد نفسه قد تختلف اختلافاً طفيفاً باختلاف الطريقة المستخدمة في حسابه، وذلك لأن جميع الطرق تُعطي قيمة تقريبية للجذر التربيعي، ولكنّ أدقّها هي الناتجة عن الآلة الحاسبة أو أجهزة الحاسوب.
أمثلة على جذور الأعداد السالبة:
-
-
-
الملخص
تُعرّف الجذور التربيعية على أنّها عملية عكسية للأسّ التربيعيّ ويرمز للجذر بالرمز " √" ، وهناك عدّة طرق مستخدمة لحساب جذور الأعداد، وأسهلها هي حساب الجذر التربيعيّ للمربّعات الكاملة مثل 25 أو 9 أو 100، وفي حال لم يكن العدد مربعاً كاملاً فإنّه يمكن حساب جذره التربيعيّ بعدّة طرق تعطي قيمة تقريبية للجذر التربيعيّ الصحيح، وذُكر خلال المقال طريقتان رئيسيتان وهما طريقة المعدّل والأخرى باستخدام قانون حاسب للجذور التربيعية مباشرة، والنوع الأخير من الجذور التربيعية كان للأعداد السالبة حيث يَنتج عنها جذر تربيعيّ ينتمي إلى الأعداد الوهمية.
تعدّ الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر والأجهزة الذكية وبعض البرمجيات الخاصة من أفضل الوسائل وأيسرها لحساب الجذور التربيعية بدقّة عالية وسرعة وسهولة دون الحاجة لاستخدام طرق حساب طويلة وأقلّ دقة من غيرها.
يحمل حساب الجذور التربيعية في الرياضيات أهميّة قصوى كأحد أهمّ العمليات الرياضية المستخدمة فيه؛ وذلك لدخوله في شتّى المجالات العملية والعلمية ومن أبرزها حلّ المعادلات الرياضية التربيعية، وإيجاد أقطار الدوائر، وطول أضلاع الأشكال الهندسية المنتظمة باختلاف أنواعها وغيرها الكثير من التطبيقات المتنوعة والواسعة والمعقدة في الحياة العملية.
