طريقة تحليل الفرق بين مُربَّعين
لتحليل الفرق بين مُربَّعين إلى عوامله، يجب التأكُّد أوّلاً من أنّ المِقدار مَكتوب على الصورة العامة (س²- ص²)، والتأكد من أنه فرق بين مربعين، عن طريق التأكد مما يأتي:
- أن التعبير الجبري يحتوي على حدين فقط.
- أن الحدين مربعان كاملان، ودراسة إمكانية استخراج عامل مشترك بينهما إن لم يكونا مربعين كاملين.
- أن أسس جميع المتغيرات زوجية.
- أن تكون إشارة أحد الحدين سالبة، وإشارة الحد الآخر موجبة.
ثمّ تحليله باتّباع الخطوات الآتية:
- فَتْح قوسين العلاقة بينهما ضَرْب: ( )( ).
- كتابة إشارة الجَمْع في القوس الأول، وفي القوس الثاني إشارة الطَّرْح: ( )( - )
- كتابة الجذر التربيعي للحَدُّ الأوّل في كلا القوسين قبل إشارتَي الجَمْع والطَّرْح: (س )(س- )
- كتابة الجذر التربيعي للحَدُّ الثاني في كلا القوسين بعد إشارتَي الجَمْع والطَّرْح: (س ص)(س-ص)
- ليكون الشكل النهائي كما يأتي:
س²-ص²=(س ص)(س-ص)
- يُمكن التعبير عن الفَرق بين مُربَّعين بالكلمات كما يأتي:
الحَدِّ الأوّل (مربع كامل)-الحَدِّ الثاني(مربع كامل)=(الجذر التربيعي للحَدِّ الأوّل-الجذر التربيعي للحَدِّ الثاني)(الجذر التربيعي للحَدِّ الأوّل الجذر التربيعي للحَدِّ الثاني).
أمثلة على كيفيّة تحليل الفَرق بين مُربَّعين
- المثال الأول: حلل المِقدار الآتي إلى عوامله الأوليّة: 4س²-9.
الحل:
- نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول 4س² عبارة عن مُربَّع كامل =2س×2س، كما أنّ الحَدَّ الثاني 9عبارة عن مُربَّع كامل=3×3، وبما أنَّ الإشارة بين الحَدَّين هي إشارة طَرْح أو فَرْق، إذن هي على صورة فَرْقٍ بين مُربَّعين.
- كتابة 4س²-9 على شكل (2س)²-²3، ثم تحليل المِقدار (2س)²-²3 كالآتي: (2س)²-²3= (2س-3)(2س 3).
- المثال الثاني: حلّل كثير الحدود الآتي إلى عوامله الأولية: س²-25.
الحل: يُلاحظ أن هذا المقدار على صورة فرق بين مربعين حيث إن الحد س² على شكل مربع كامل، والحد 25 أيضاً جاء على شكل مربع كامل، والجذر التربيعي للحد (س²) يساوي س، والجذر التربيعي للمقدار 25 يساوي 5، لذلك حسب قانون الفرق بين مربعين ( س² - ص² = (س-ص) (س ص)، يكون الناتج: س²-25=(س-5)(س 5).
- المثال الثالث: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: س²- 16.
الحل:
- التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، لكن في هذه الحالة لا يوجد.
- تحويل المعادلة الى صيغة (س ص) (س-ص)، وفي هذه الحالة تصبح المعادلة كالآتي: (س 4)(س-4).
- المثال الرابع: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 4س²- 49ص².
الحل:
- التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، لكن في هذه الحالة لا يوجد.
- تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س ص) (س-ص)، فتصبح على هذه الصورة: (2س 7ص)(2س-7ص).
- المثال الخامس: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 50س²- 72.
الحل:
- 50س² ليس مربعاً كاملاً، و72 كذلك، لذلك يجب التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة هو العدد 2.
- إخراج العامل المشترك لتصبح المسألة: 2(25س²- 36)، وهي على شكل فرق بين مربعين.
- تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س ص) (س-ص)، لتصبح: 2((5س 6) (5س-6))
- المثال السادس: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: -9 س.
الحل:
- يجب أولاً تبديل ترتيب الحدود ليصبح الحد السالب بعد الحد الموجب، لتصبح المسألة: س-9=0
- التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، لكن في هذه الحالة لا يوجد.
- تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س ص) (س-ص)، لتصبح: (س²-3)(س² 3).
- المثال السابع: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 4س²-25.
الحل:
- التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
- تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س ص) (س-ص)، لتصبح: (2س-5)(2س 5).
- المثال الثامن: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: س-1.
الحل:
- التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
- تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س ص) (س-ص)، لتصبح: (س²-1)(س² 1)، ونلاحظ أن المسألة يمكن تحليلها مرة أخرى؛ لأن القوس الأول يمثّل كذلك فرقاً بين مربعين، وعليه يمكن تبسيط المسألة لتصبح: (س-1)(س 1)(س² 1).
- المثال التاسع: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: س-ص.
الحل:
- التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
- تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س ص) (س-ص) بعد التأكد من أن الحدين عبارة عن مربعين كاملين، لتصبح: (س-ص)(س ص).
- المثال العاشر: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 9س²-49ص².
الحل:
- التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
- تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س ص) (س-ص) بعد التأكد من أن الحدين عبارة عن مربعين كاملين، لتصبح: (3س-7ص)(3س 7ص).
- المثال الحادي عشر: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 16س²-81ص².
الحل:
- التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
- تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س ص) (س-ص) بعد التأكد من أن الحدين عبارة عن مربعين كاملين، لتصبح: (4س-9ص)(4س 9ص).
- المثال الثاني عشر: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: (س-2)²-49.
الحل:
- التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
- تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س ص) (س-ص) بعد التأكد من أن الحدين عبارة عن مربعين كاملين، لتصبح: ((س-2)-7)((س-2) 7)=(س-9)(س 5)
- المثال الثالث عشر: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 63-7س².
الحل:
- التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة هو العدد 7، لتصبح المسألة: 7(9-س²).
- تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س ص) (س-ص) بعد التأكد من أن الحدين عبارة عن مربعين كاملين، لتصبح: 7(9-س²)=7(3-س)(3 س).
نظرة عامة حول الفرق بين مُربَّعين وتحليله
الفرق بين مُربَّعي حَدَّين هو إحدى صِيَغ المُعادَلة التربيعيّة، أو المُعادَلة ذات الدرجة الثانية،
- س²: هو الحَدِّ الأوّل ويجب أن يكون مربعاً كاملاً.
- ص²: هو الحَدِّ الثاني ويجب أن يكون مربعاً كاملاً.
- والإشارة بينهما هي إشارة طَرْحٍ أو فَرْقٍ، وبهذا فهي تُمثِّل فَرقاً بين مُربَّعَين.
