قوانين كبلر

قوانين كبلر الثلاثة

اشتقت قوانين كبلر التي توضّح حركة الكواكب في النظام الشمسي من قِبل عالم الفلك الألماني يوهانس كيبلر الذي تمكّن من تحليل ملاحظات عالم الفلك الدنماركي تيخو براهي فأعلن عن أول قانونين له في عام 1609 م، وقانون آخر ثالث في عام 1618 م.

قانون كبلر الأول

وهو قانون المسارات الإهليجية، وينصّ القانون على أنّ كلّ كوكب من كواكب النظام الشمسي يتحرَك في مدارات إهليجية بحيث تقع الشمس في إحدى بؤرتيه، يعني أنّ المسافة بين الكوكب والشمس تتغير باستمرار مع دوران الكوكب.

يُستخدم قانون كبلر الأول لحساب نصف المحور الأكبر (بالإنجليزية: semi-major axis) وهو عبارة عن المحور الأطول الذي يكون على طول المحور السيني، وحساب نصف المحور الأصغر (بالإنجليزية: semi-minor axis) وهو المحور الأقصر الذي يكون على المحور الصادي، ويُعبّر عنه رياضياً بالشكل الآتي :

a =(ra rp) /2

(b =√(ra×rp

حيث إنّ:

• a: نصف المحور الأكبر (بالإنجليزية: semi-major axis) .
• b: نصف المحور الأصغر (بالإنجليزية: semi-minor axis) .
• rp: أقرب مسافة بين الكوكب والشمس، وتسمّى الحضيض وتقاس بالوحدة الفلكية (AU).
• ra: أبعد مسافة بين الكوكب والشمس، وتسمّى الأوج وتقاس بالوحدة الفلكية (AU).

كما يُمكن إيجاد قيم rp و ra باستخدام المعادلات الآتية:

rp = a (1 - e)

ra = a (1 e)

حيث إنّ:

• α وe : قيم ثابتة تعتمد على الطاقة الكلية والزخم الزاوي، تُحسَب من المعادلة الآتية:
  • (α/r=1 e (cosθ

θ: الزاوية المقاسة من المحور السيني ، والتي تقع على طول المحور الرئيسي للقطع الناقص.

ومن الجدير بالذكر أنّه لا تخضع جميع الأجسام مثل المذنبات ( بالإنجليزية: Comets ) لقانون كبلر لحركة الكواكب ، فلا تدور المذنبات حول الشمس في مدار بيضاوي (إهليجي) ثابت مثل الكواكب الأخرى.

مثال:

في حال كان أقرب بُعد للكوكب عن الشمس 43.5 AU ، فما هي أبعد مسافة تفصله عن الشمس، مع العلم أنّ قيمة a تساوي 100 AU؟

الحل:

• a = (ra rp) /2
• rp = 2 a-ra
• 43.5 -100×2 = rp
• يبلغ طول نصف المحور الأكبر AU 156.5

قانون كبلر الثاني

ينصّ قانون كبلر الثاني على أنّ: الخط الواصل بين الكوكب والشمس يقطع مساحات متساوية خلال أزمنة متساوية، أيّ أنّه لا تتحرك تلك الكواكب بسرعة ثابتة على طول مداراتها بل تتباين السرعات اعتمادًا على البُعد عن الشمس، فيكون الدوران أو الحركة سريعة كلما كان الكوكب قريباً من الشمس، ويبدأ في التباطؤ كلَما زاد بعده عن الشمس.

يُعبّر عن قانون كبلر الثاني رياضياً على النحو الآتي:

ΔA = 1/2 r Δs =1/2 r (v Δt sinθ) = (1/2m) r (m v sinθ Δt) = (1/2m) r (m vperp Δt) = (L /2m)×Δt

ويمكن كتابة القانون بطريقة مبسطة أكثر كالآتي:

areal velocity = ΔA / Δt = L / 2m

حيث إنّ:

• ΔA: هي المساحة الناتجة عن تحرك الكوكب بمقدار زمني (Δt).
• Δt: مقدار التغير في الزمن.
• v: السرعة العمودية (سرعة الكوكب في مداره).
• θ: الزاوية بين متجه سرعة الكوكب في مداره وامتداد خد المسافة بين الكوكب والشمس.
• θ: الزاوية بين الاتجاه الشعاعي و v.
• L: الزخم الزاوي أي عزم دوران الكمية المتحركة، ويُقاس ب kgm^2 /s أو مضاعفاتها.
• m: الكتلة وتقاس بالكيلوغرام.
• (areal velocity): هي المساحة المقطوعة بالنسبة للزمن وتقاس بالمتر المربع، حيث يقطع الكوكب مساحات متساوية خلال فترات زمنية ثابتة أثناء دورانه.

مثال:

كوكب كتلته 2.4 × 10 ^ 10 كغ يدور حول نجم في الزمن 3 ×10 ^ 4 يجتاح مساحة 6.9 × 10 ^ 8 ، احسب الزخم الزاوي للكوكب.

الحل:

• باستخدام قانون كبلر الثاني:
• areal velocity= ΔA/Δt =L/2m
• تدل Δ على القيمة المتغيرة بناءً على الزمن ممّا يعني أن شكل القانون سيكون كالآتي:
• L= 2m X dt/dA
• بالتعويض في القانون فإن الناتج سيكون كالآتي :
• (4^10 ×3)/ (8^10× 6.9 ×10^10 × 2.4× 2) =L
• الزخم الزاوي للكوكب= 15^10× kgm^2 /s 1.104

قانون كبلر الثالث

ينصّ القانون على الآتي: يتناسب مربع الفترة المدارية لأيّ كوكب (أي مدة دورانه حول الشمس دورة كاملة) مع مكعب بُعد الكوكب عن الشمس، أيّ أنّ النسبة ما بين مكعب المسافة ومربع الزمن دائماً تُعطي مقداراً ثابتاً يُعطى بالشكل الآتي :

(3^r2)/(r1^3) = (T2 ^2)/(T1 ^ 2 )

حيث إنّ:

• T: هي الفترة (الوقت لمدار واحد) وتقاس باليوم.
• r: هي متوسط المسافة أو نصف القطر المداري.

ملاحظة: هذه المعادلة صالحة فقط لمقارنة كتلتين صغيرتين تدوران حول كتلة واحدة كبيرة.

كما يُعبّر عن قانون كبلر الثالث بالشكل الآتي:

(T^2 = 4 × π^2 /(GM) × (a ^ 3

إذ إن:

• G: الجاذبية11- ^ 10 × 6.673.
• M: كتلة الأرض.
• a: المحور الأطول ( بالإنجليزية:semi-major axis).
• T: هي الفترة (الوقت لمدار واحد) وتقاس باليوم أو بالثانية ومضاعفاتها.

ملاحظة: يُمكن استخدام أيّ من القانونين السابقين حسب المعطيات المتوافرة

مثال:

إذا بلغ متوسط نصف قطر المدار لقمر ما 1.22 × 9^10 مترًا، وكانت الفترة المدارية له تساوي 15.95 يوم، بتواجد قمر آخر يدور حول نصف قطر يقدر ب1.48 × 9^10 م، قم باستخدام قانون كبلر الثالث لحركة الكواكب للتنبؤ أو لحساب الفترة المدارية للقمر الآخر بالأيام.

الحل:

المعطيات:

• سنرمز للقمر الأول T وللقمر الثاني H:
• 𝑟𝑇 = 1.22𝑥10^9 𝑚
• 𝑇𝑇 = 15.95 𝑑𝑎𝑦𝑠
• 𝑟𝐻 = 1.48𝑥10^9 𝑚
• 𝑇𝐻 = مجهول.

نقوم بالتعويض على القانون كالآتي:

• الفترة المدارية للقمر الأخير تساوي 21.3 يوم.

اكتشف عالم الفلك الألماني يوهانس كيبلر قوانين حركة الكواكب الثلاث التي تفسّر حركة الكواكب في مدارات إهليجية حول الشمس، وقد أصدر هذه القوانين بعد دراسة دقيقة جدًا لملاحظات العالم الدنماركي تايكو التي تركها بعد وفاته.

تفسير حركة الكواكب من منظور كبلر

استندت قوانين كبلر على من سبقه من علماء الفلك مثل نيكولاس كوبرنيكوس وتيكو براهي، فقد طرح كوبرنيكوس نظرية أن الكواكب تسير في مسار دائري مثالي حول الشمس، بحيث تكون الشمس هي المركز وتعتبر هذه النظرية أبسط بكثير من النظرية السابقة لها التي كانت تنص على أن الكواكب تدور حول الأرض.

ومع ذلك فإن كبلر وتايكو استطاعوا تدوين ملاحظات دقيقة للغاية ووجدوا أن نظرية كوبرنيكوس لم تكن صحيحة تمامًا في شرح حركات الكواكب، بعد وفاة تايكو عام 1601م ورث كبلر ملاحظاته وبعد عدة سنوات ابتكر قوانينه الثلاثة وحدد مدارات الكواكب بشكل صحيح، ولكنه كان يؤمن مثل العديد من العلماء قبله مثل كوبرنيكوس بأن الدائرة هي الشكل المثالي للكون.

تسارع الكواكب وقانون كبلر الثاني

أثبتت قوانين كبلر جاهزيتها للتطبيقات العلمية المختلفة خاصةً عندما صاغ نيوتن قانون الجاذبية بين الأرض والقمر، وبين الشمس والكواكب باستخدام قانون كبلر الثاني .

أدرك نيوتن أنّ جميع الحركات سواء كانت مدار القمر حول الأرض أو سقوط التفاحة من الشجرة تتبع نفس المبادئ الأساسية، وقد أوجز قوانينه في عمل من 3 كتب أُطلق عليه اسم الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية، ونشره عام 1687 م، وفيه شرح مفصّل لقوانين نيوتن الثلاثة .

قدّم نيوتن أيضاً قانونه للجاذبية العامة الذي يتلخص بأنّ كل مادة تُمارس قوة تسحب كل المواد الأخرى نحو مركزها وتعتمد على كتلة الجسم طردياً وعلى المسافة عكسياً، أي أن الأجسام ذات الكتلة الأكبر تكون جاذبيتها أكبر والأجسام البعيدة تكون أقل تأثراً بالجاذبية.