قوانين المساحة في الرياضيات

قوانين مساحة الأشكال ثنائية الأبعاد في الرياضيات

مساحة الدائرة

يُمكن حساب مساحة الدائرة من خلال العلاقة الرياضية الآتية:

مساحة الدائرة = π × نصف القطر²

وبالرموز:

م = π × نق²

حيث إنّ:

• م: مساحة الدائرة تُقاس بوحدة سم².
• π: الثابت باي قيمته التقريبية 3.14.
• نق: نصف القطر، وهو يمثّل المسافة بين مركز الدائرة ونقطة على محيطها ، يُقاس بوحدة سم.

المثال:

ما مساحة دائرة نصف قطرها 12.7 سم؟

الحل:

• كتابة قانون مساحة الدائرة:

مساحة الدائرة = π × نق²

• تعويض المعطيات:

مساحة الدائرة = 3.14 × ²12.7

• إيجاد الناتج:

مساحة الدائرة = 506.45 سم

مساحة المستطيل والمربع

يُمكن حساب مساحة المستطيل من خلال العلاقة الرياضية الآتية:

مساحة المستطيل = الطول × العرض

وبالرموز:

م = ل × ع

حيث إنّ:

• م: مساحة المستطيل تُقاس بوحدة سم².
• ل: طول المستطيل يُقاس بوحدة سم.
• ع: عرض المستطيل، وهو يُمثّل طول القاعدة، ويُقاس بوحدة سم.

بما أنَّ طول المربع مُماثل لعرضه فإنّ مساحته يُمكن حسابها من خلال العلاقة الرياضية الآتية:

مساحة المربع = طول الضلع²

وبالرموز:

م = ض²

حيث إنّ:

• م: مساحة المربع تُقاس بوحدة سم².
• ض: طول الضلع يُقاس بوحدة سم.

المثال:

ما مساحة مستطيل طول قاعدته 30.48 سم، وطول ارتفاعه 12.7 سم؟

الحل:

• كتابة قانون مساحة المستطيل:

مساحة المستطيل = ل × ع

• تعويض المعطيات:

مساحة المستطيل = 30.48 × 12.7

• إيجاد الناتج:

مساحة المستطيل = 387.1 سم²

مساحة شبه المنحرف

يُمكن حساب مساحة شبه المنحرف من خلال العلاقة الرياضية الآتية:

مساحة شبه المنحرف = ½ × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع

وبالرموز:

م = ½ × (ق₁ ق₂) × ع

حيث إنّ:

• م: مساحة شبه المنحرف تُقاس بوحدة سم².
• ق₁، ق₂: قاعدتي شبه المنحرف وهي تمثّل الضلعين المتوازيين فيه، وتُقاس بوحدة سم.
• ع: الارتفاع وهو يُمثّل المسافة الرأسية بين القاعدتين، ويُقاس بوحدة سم.

المثال:

ما مساحة شبه منحرف طول قاعدتيه 10.16، 7.62 سم على التوالي، بينما يبلغ ارتفاعه 8.89 سم؟

الحل:

• كتابة قانون مساحة شبه المنحرف:

مساحة شبه المنحرف = ½ × (ق₁ ق₂) × ع

• تعويض المعطيات:

مساحة شبه المنحرف = ½ × (10.16 7.62) × 8.89

• إيجاد الناتج:

مساحة شبه المنحرف = 79.03 سم

مساحة الأشكال غير المنتظمة

تُستخدم عِدّة طرق لحساب مساحة الأشكال غير المنتظمة، وتتمثّل إحدى الطرق في تقسيم الشكل غير المنتظم إلى أشكالٍ صغيرةٍ يُمكن حساب مساحتها من خلال معادلات رياضية معروفة كالمربع والمثلث، ومن ثُمّ إيجاد مساحة كل شكل من الأشكال الصغيرة، وجمع تلك المساحات معًا.

مساحة متوازي الأضلاع

يُمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع من خلال العلاقة الرياضية الآتية:

مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة × الارتفاع

وبالرموز:

م = ق × ع

حيث إنّ:

• م: مساحة متوازي الأضلاع تُقاس بوحدة سم².
• ق: طول إحدى قاعدتي متوازي الأضلاع تُقاس بوحدة سم.
• ع: الارتفاع يُقاس بوحدة سم.

المثال:

ما مساحة متوازي الأضلاع الذي تبلغ طول قاعدته 8 سم، وارتفاعه 5 سم؟

الحل:

• كتابة قانون مساحة متوازي الأضلاع:

مساحة متوازي الأضلاع = ق × ع

• تعويض المعطيات:

مساحة متوازي الأضلاع = 8 × 5

• إيجاد الناتج:

مساحة متوازي الأضلاع = 40 سم²

مساحة المثلث

يُمكن حساب مساحة المثلث من خلال القانون العام لحساب مساحة المثلث الآتي:

القانون العام لمساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع

وبالرموز:

م = ½ × ق × ع

حيث إنّ:

• م: مساحة المثلث تُقاس بوحدة سم².
• ق: طول القاعدة يُقاس بوحدة سم.
• ع: الارتفاع يُقاس بوحدة سم.

تجدر الإشارة إلى أن الشكل المثلث يشمل عدة أنواع ويُمكن حساب مساحة كل منها على النحو الآتي:

مساحة المثلث قائم الزاوية

مساحة المثلث قائم الزاوية = ½ × القاعدة × الارتفاع

وبالرموز:

م = ق × ع

حيث إنّ:

• م: مساحة المثلث قائم الزاوية تُقاس بوحدة سم².
• ق: طول القاعدة يُقاس بوحدة سم.
• ع: الارتفاع (الارتفاع العمودي المُقابل للوتر) يُقاس بوحدة سم.

المثال:

ما مساحة مثلث قائم الزاوية إذا علمتَ أنّ طول قاعدته 12 سم، وارتفاعه 20 سم؟

الحل:

• كتابة قانون مساحة المثلث قائم الزاوية:

مساحة المثلث قائم الزاوية = ½ × ق × ع

• تعويض المعطيات:

مساحة المثلث قائم الزاوية = ½ × 12 × 20

• إيجاد الناتج:

مساحة المثلث قائم الزاوية = 120 سم²

مساحة المثلث متساوي الأضلاع

مساحة المثلث متساوي الأضلاع = ¾√ × طول الضلع²

وبالرموز:

م = ¾√ × ض²

حيث إنّ:

• م: مساحة المثلث متساوي الأضلاع تُقاس بوحدة سم².
• ض: طول الضلع يُقاس بوحدة سم.

المثال:

إذا علمتَ أنّ طول ضلع مثلث متساوي الأضلاع يساوي 11 سم، فما هي مساحته؟

الحل:

• كتابة قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع:

مساحة المثلث متساوي الأضلاع = ¾√ × ض²

• تعويض المعطيات:

مساحة المثلث متساوي الأضلاع = ¾√ × ²11

• إيجاد الناتج:

مساحة المثلث متساوي الأضلاع = 52.4 سم²

مساحة المثلث متساوي الساقين

مساحة المثلث متساوي الساقين = ¼ × القاعدة × (4 × طول إحدى الساقين المتساويين² - القاعدة²)√

وبالرموز:

م = ¼ × ق × (4 × ل² - ق²)√

حيث أنّ:

• م: مساحة المثلث متساوي الساقين تُقاس بوحدة سم².
• ق: طول قاعدة المثلث يُقاس بوحدة سم.
• ل: طول أحد الضلعين المتساويين يُقاس بوحدة سم.

المثال:

ما مساحة المثلث متساوي الساقين الذي طول أحد ضلعيه المتساويين يساوي 7م، وطول قاعدته 10م؟

الحل:

• كتابة قانون مساحة المثلث متساوي الساقين:

مساحة المثلث متساوي الساقين = ¼ × ق × (4× ل² - ق²)√

• تعويض المعطيات:

مساحة المثلث متساوي الساقين = ¼ × 10 × (4 × ²7 - ²10)√

• إيجاد الناتج:

مساحة المثلث متساوي الساقين = 24.5 سم²

مساحة القطاع الدائري

يُمكن حساب مساحة القطاع الدائري تبعًا لقياس زاويته من خلال العلاقتين الرياضيتين الآتيتين:

مساحة القطاع الدائري الذي قياس زاويته بالدرجات

مساحة القطاع الدائري = (π × نصف القطر²) × (زاوية القطاع / 360°)

وبالرموز:

م = (π × نق²) × (هـ / 360°)

حيث إنّ:

• م: مساحة القطاع الدائري تُقاس بوحدة سم².
• π: الثابت باي قيمته التقريبية 3.14.
• نق: نصف قطر الدائرة يُقاس بوحدة سم .
• هـ: قياس الزاوية المركزية أو زاوية القطاع بالدرجات.

المثال:

يقع قطاع دائري زاويته المركزية تساوي 60° في دائرة نصف قطرها يساوي 4 سم، جد مساحة هذا القطاع الدائري.

الحل:

• كتابة قانون مساحة القطاع الدائري:

مساحة القطاع الدائري = (π × نق²) × (هـ / 360)

• تعويض المعطيات:

مساحة القطاع الدائري = (3.14 × ²4) × (360 / 60)

• إيجاد الناتج:

مساحة القطاع الدائري = 8.37 سم²

مساحة القطاع الدائري الذي قياس زاويته بالراديان

مساحة القطاع الدائري = ½ × زاوية القطاع × نصف القطر²

وبالرموز:

م = ½ × هـ × نق²

حيث إنّ:

• م: مساحة القطاع الدائري تُقاس بوحدة سم².
• هـ: قياس الزاوية المركزية أو زاوية القطاع بالراديان.
• نق: نصف قطر الدائرة يُقاس بوحدة سم.

المثال:

يقع قطاع دائري زاويته المركزية تساوي 4 راديان في دائرة نصف قطرها يساوي 6 سم، جد مساحة القطاع الدائري.

الحل:

• كتابة قانون مساحة القطاع الدائري:

مساحة القطاع الدائري = ½ × هـ × نق²

• تعويض المعطيات:

مساحة القطاع الدائري = ½ × 4 × ²6

• إيجاد الناتج:

مساحة القطاع الدائري = 72 سم²

مساحة المعين

يُمكن حساب مساحة المعين من خلال العلاقات الرياضية الآتية:

مساحة المعين معلوم أطوال الأقطار

مساحة المعين = (القطر الأول × القطر الثاني) / 2

وبالرموز:

م = (ق1 × ق2) / 2

حيث إنّ:

• م: مساحة المعين تُقاس بوحدة سم².
• ق 1 : طول القطر الأول يُقاس بوحدة سم.
• ق 2 : طول القطر الثاني يُقاس بوحدة سم .

المثال:

احسب مساحة المعين إذا علمتَ أنّ طول قطريه 11 سم و9 سم.

الحل:

• كتابة قانون مساحة المعين:

مساحة المعين = (ق1 × ق2) / 2

• تعويض المعطيات:

مساحة المعين = (11 × 9) / 2

• إيجاد الناتج:

مساحة المعين = 49.5 سم²

مساحة المعين معلوم الارتفاع وطول أحد الأضلاع:

مساحة المعين = الارتفاع × طول الضلع

وبالرموز:

م = ع × ل

حيث إنّ:

• م: مساحة المعين تُقاس بوحدة سم².
• ع: الارتفاع يُقاس بوحدة سم.
• ل: طول الضلع يُقاس بوحدة سم .

المثال:

احسب مساحة المعين إذا علمتَ أنّ ارتفاعه يساوي 7 سم، وطول أحد أضلاعه 3 سم.

الحل:

• كتابة قانون مساحة المعين:

مساحة المعين =ع × ل

• تعويض المعطيات:

مساحة المعين= 7 × 3

• إيجاد الناتج:

مساحة المعين= 21 سم²

مساحة المعين معلوم طول الضلع وقياس إحدى الزوايا

مساحة المعين = طول الضلع² × جيب إحدى زوايا المعين

وبالرموز:

م = ل² × جا(α)

حيث إنّ:

• م: مساحة المعين تُقاس بوحدة سم².
• ل: طول الضلع يُقاس بوحدة سم .
• α: قياس الزاوية بالدرجات.

المثال:

حسب مساحة المعين إذا علمتَ أنّ طول أحد أضلاعه يساوي 4 م، وقياس إحدى زواياه يساوي 60°. 

الحل:

• كتابة قانون مساحة المعين:

مساحة المعين = ل² × جا(α)

• تعويض المعطيات:

مساحة المعين = ²4 × جا (60°)

• إيجاد الناتج:

مساحة المعين= 13.8 م²

قوانين مساحة الأشكال ثلاثية الأبعاد في الرياضيات

ندرج فيما يلي قوانين مساحة الأشكال ثلاثية الأبعاد في الرياضيات :

مساحة المكعب

يُمكن حساب مساحة المكعب من خلال العلاقة الرياضية الآتية:

مساحة المكعب = 6 × طول الضلع²

وبالرموز:

م = 6 × ض²

حيث إن:

• م: مساحة المكعب تُقاس بوحدة سم².
• ض: طول ضلع المكعب يقاس بوحدة سم.

المثال:

مكعب طول ضلعه 9 سم، جد مساحته.

الحل:

• كتابة قانون مساحة المكعب:

مساحة المكعب = 6 × ض²

• تعويض المعطيات :

مساحة المكعب = 6 × ²9

• إيجاد الناتج:

مساحة المكعب = 486 سم²

مساحة متوازي المستطيلات

يُمكن حساب مساحة متوازي المستطيلات من خلال العلاقات الرياضية الآتية:

المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات

المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = 2 × ((الطول × العرض) (العرض × الارتفاع) (الطول × الارتفاع))

وبالرموز:

م = 2 × ((ل × ض) (ض × ع) (ل × ع))

حيث إن:

• م: المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات تُقاس بوحدة سم².
• ل: طول متوازي المستطيلات يُقاس بوحدة سم.
• ض: عرض متوازي المستطيلات يُقاس بوحدة سم.
• ع: ارتفاع متوازي المستطيلات يُقاس بوحدة سم.

المثال:

ما هي المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات الذي طوله 6 سم، وعرضه 5 سم، وارتفاعه 7 سم؟

الحل:

• كتابة قانون المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات:

المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = 2 × ((ل × ض) (ض × ع) (ل × ع))

• تعويض المعطيات :

المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = 2 × ((6 × 5) (5 × 7) (6 × 7))

• إيجاد الناتج:

المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = 214 سم²

المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات

المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = 2 × الارتفاع × (الطول العرض)

وبالرموز:

م = 2 ×ع × (ل ض)

حيث إن:

• م: المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات تُقاس بوحدة سم².
• ع: ارتفاع متوازي المستطيلات يُقاس بوحدة سم.
• ل: طول متوازي المستطيلات يُقاس بوحدة سم.
• ض: عرض متوازي المستطيلات يُقاس بوحدة سم.

المثال:

ما هي المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات الذي طوله 13 سم، و عرضه 15 سم، وارتفاعه 11 سم؟

الحل:

• كتابة قانون المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات :

المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = 2 × ع × (ل ض)

• تعويض المعطيات:

المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = 2 × 11 × (13 15)

• إيجاد الناتج:

المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = 616 سم²

مساحة الأسطوانة

يُمكن حساب مساحة الأسطوانة من خلال العلاقات الرياضية الآتية:

المساحة الكلية لسطح الأسطوانة

المساحة الكلية لسطح الأسطوانة = 2 × π × نصف القطر × (نصف القطر ارتفاع الأسطوانة)

وبالرموز:

م= 2 × π × نق × (نق ع)

حيث إن:

• م : المساحة الكلية لسطح الأسطوانة تُقاس بوحدة سم².
• نق: نصف قطر قاعدة الأسطوانة يُقاس بوحدة سم.
• π: ثابت باي قيمته 3.14.
• ع: ارتفاع الأسطوانة يُقاس بوحدة سم.

المثال:

احسب المساحة الكلية لسطح الأسطوانة إذا علمتَ بأنّ نصف قطر قاعدتها 3 م، وارتفاعها 7 م.

الحل:

• كتابة قانون المساحة الكلية لسطح الأسطوانة:

المساحة الكلية لسطح الأسطوانة = 2 × π × نق × (نق ع)

• تعويض المعطيات:

المساحة الكلية لسطح الأسطوانة = 2 × 3.14 × 3 × (3 7)

• إيجاد الناتج:

المساحة الكلية لسطح الأسطوانة = 188.4 م²

المساحة الجانبيّة للأسطوانة

المساحة الجانبيّة للأسطوانة = 2 × π × نصف القطر × ارتفاع الأسطوانة

وبالرموز:

م = 2 × π × نق × ع

حيث إن:

• م: المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة تُقاس بوحدة سم².
• نق: نصف قطر قاعدة الأسطوانة يُقاس بوحدة سم.
• π: ثابت باي قيمته 3.14.
• ع: ارتفاع الأسطوانة يُقاس بوحدة سم.

المثال:

احسب المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة إذا علمتَ بأنّ نصف قطر قاعدتها 3 م، وارتفاعها 5 م.

الحل:

• كتابة قانون المساحة الجانبيّة للأسطوانة:

المساحة الجانبية لسطح الاسطوانة = 2 × π × نق × ع

• تعويض المعطيات:

المساحة الجانبيّة للأسطوانة = 2 × 3.14 × 3 × 5

• إيجاد الناتج:

المساحة الجانبيّة للأسطوانة = 94.2 م²

مساحة المنشور

يُمكن حساب مساحة جميع أنواع المنشور من خلال العلاقة الرياضية الآتية:

المساحة الجانبية لسطح المنشور

المساحة الجانبية لسطح المنشور = محيط القاعدة × الارتفاع

وبالرموز:

م = ح × ع

حيث إن:

• م: المساحة الجانبية لسطح المنشور تُقاس بوحدة سم².
• ح: محيط القاعدة يُقاس بوحدة سم.
• ع: الارتفاع يُقاس بوحدة سم.

المثال:

منشور رباعي طول ضلع قاعدته يساوي 8 سم وارتفاعه 6 سم، جد مساحته الجانبية.

الحل:

• كتابة قانون المساحة الجانبية لسطح المنشور:

المساحة الجانبية لسطح المنشور = محيط القاعدة المربعة × الارتفاع = 4 × طول ضلع القاعدة × الارتفاع

• تعويض المعطيات:

المساحة الجانبية لسطح المنشور = 4 × 8 × 6

• إيجاد الناتج:

المساحة الجانبية لسطح المنشور = 192 سم²

المساحة الكلية لسطح المنشور

المساحة الكلية لسطح المنشور = (2 × مساحة القاعدة) (محيط القاعدة × الارتفاع)

وبالرموز:

م ك = (2 × م) (ح × ع)

حيث إن:

• م ك : مساحة الكلية لسطح المنشور تُقاس بوحدة سم².
• م: مساحة القاعدة تُقاس بوحدة سم².
• ح: محيط القاعدة يُقاس بوحدة سم.
• ع: الارتفاع يُقاس بوحدة سم.

المثال:

منشور رباعي طول ضلع قاعدته 6 سم وارتفاعه 9 سم، جد مساحته الكلية.

الحل:

• كتابة قانون المساحة الكلية لسطح المنشور:

المساحة الكلية لسطح المنشور = (2 × م) (ح × ع) = (2 × طول الضلع²) (4 × طول الضلع × الارتفاع)

• تعويض المعطيات :

المساحة الكلية لسطح المنشور = (2 × ²6) (4 × 6 × 9)

• إيجاد الناتج:

المساحة الكلية لسطح المنشور = 288 سم²

مساحة الكرة

يُمكن حساب مساحة الكرة من خلال العلاقة الرياضية الآتية:

مساحة سطح الكرة = 4 × π × (نصف القطر)²

وبالرموز:

م = 4 × π × نق²

حيثُ إنّ:

• م: مساحة سطح الكرة تُقاس بوحدة سم².
• نق: نصف قطر الكرة يُقاس بوحدة سم.
• π: ثابت باي قيمته 3.14.

المثال:

كرة نصف قطرها 4 م، ما هي مساحة سطحها.

الحل:

• كتابة قانون مساحة سطح الكرة:

مساحة سطح الكرة = 4 × π × نق²

• تعويض المعطيات:

مساحة سطح الكرة = 4 × 3.14 × ²4

• إيجاد الناتج:

مساحة سطح الكرة = 200.96 م²

مساحة نصف الكرة

يُمكن حساب مساحة نصف الكرة من خلال العلاقة الرياضية الآتية:

مساحة سطح نصف الكرة = نصف مساحة الكرة مساحة القاعدة الدائرية

وبالرموز:

م = 3 × π × نق²

حيثُ إنّ:

• م: مساحة نصف الكرة تُقاس بوحدة سم².
• نق: نصف قطر الكرة يُقاس بوحدة سم.
• π: ثابت باي قيمته 3.14.

المثال:

جد مساحة سطح نصف كرة يبلغ طول نصف قطرها 7.5 سم؟

الحل:

• كتابة قانون مساحة سطح نصف الكرة:

مساحة سطح نصف الكرة = 3 × π × نق²

• تعويض المعطيات:

مساحة سطح نصف الكرة = 3 × 3.14 × 7.5²

• إيجاد الناتج:

مساحة سطح نصف الكرة = 529.8 سم²

مساحة المخروط

يُمكن حساب مساحة المخروط من خلال العلاقتين الرياضيتين الآتيتين حسب المعطيات:

مساحة المخروط معلوم الارتفاع المائل

مساحة المخروط = π × نصف القطر × (نصف القطر الارتفاع المائل)

وبالرموز:

م = π × نق × (نق ع)

حيث إن:

• م: مساحة المخروط تُقاس بوحدة سم².
• نق: نصف القطر يُقاس بوحدة سم.
• ع: الارتفاع المائل للمخروط يُقاس بوحدة سم.
• π: ثابت باي قيمته 3.14.

مساحة المخروط معلوم الارتفاع

مساحة المخروط = π × نصف القطر × (نصف القطر (ارتفاع المخروط² نصف القطر²)√)

وبالرموز:

م = π × نق × (نق (ع² نق²)√)

حيث إن:

• م: مساحة المخروط تُقاس بوحدة سم².
• نق: نصف القطر يُقاس بوحدة سم.
• ع: ارتفاع المخروط يُقاس بوحدة سم.
• π: ثابت باي قيمته 3.14.

المثال:

ما هي مساحة المخروط الذي ارتفاعه 7 سم، ونصف قطره 3 سم؟

الحل:

• كتابة قانون مساحة المخروط معلوم الارتفاع:

مساحة المخروط = π × نق × (نق (ع² نق²)√)

• تعويض المعطيات:

مساحة المخروط = 3.14 × 3 × (3 (7² 3²)√)

• إيجاد الناتج:

مساحة المخروط = 100 سم²