قانون مساحة ومحيط الدائرة

قانون مساحة الدائرة

يُمكن تعريف مساحة الدائرة (بالإنجليزية: Area of a Circle) بأنّها المساحة أو المنطقة التي تشغلها الدائرة على سطح مستوٍ، ويُمكن حساب مساحة الدائرة بالقانون التالي حيث يعتمد القانون بشكل أساسي على نصف قطر الدائرة :

مساحة الدائرة= π × نصف القطر².

ويُعبر عن الصيغة الرياضية بالرموز التالية:

م= π × نق²

إذ إنّ:

• م: مساحة الدائرة.
• π: قيمة ثابتة وتبلغ 3.14 أو 22/7.
• نق: نصف قطر الدائرة.

تعد الدائرة من الأشكال الهندسية ، وهي شكل مغلق ينتج عن مجموعة من النقاط التي تبعد بمسافة ثابتة عن نقطة معينة وهي مركز الدائرة، وتُسمى المسافة الواصلة بين أي من هذه النقاط ومركز الدائرة بنصف القطر ويُرمز له بالرمز (نق)، ويُسمى الخط الواصل بين نقطتين على الدائرة مارًا بالمركز، أو الخط الذي يقسم الدائرة من المنتصف إلى جزئين متساويين بالقطر ويُرمز له بالرمز (ق) وهو ضعف نصف القطر أي: ق= 2×نق.، وتُعرف مساحة الدائرة بأنّها الحيز الذي تشغله الدائرة على سطح مستوٍ، ويُمكن حسابها بضرب تربيع نصف القطر في ثابت قيمته π أو 3.14.

قانون محيط الدائرة

يُمكن تعريف محيط الدائرة (بالإنجليزية: Perimeter of a Circle) بأنّه المسافة المحيطة بحدود الدائرة أو هو طول قوس الدائرة بالكامل، ويُمكن حساب محيط الدائرة بالقانون التالي:

محيط الدائرة= π × القطر

أو

محيط الدائرة= π × نصف القطر × 2.

ويُعبر عن الصيغة الرياضية بالرموز التالية:

م= π × ق = 2 × π × نق

إذ إنّ:

• م: مساحة الدائرة.
• π: قيمة ثابتة وتبلغ 3.14.
• ق: قطر الدائرة.
• نق: نصف قطر الدائرة.

ويجدر بالذكر أنّه يُمكن حساب مساحة الدائرة إذا عُلمَ محيطها ويُمكن حساب المحيط إذا علمت مساحتها، وذلك بالخطوات التالية:

حساب مساحة الدائرة عند معرفة المحيط

يُمكن حساب مساحة الدائرة عند معرفة المحيط بالخطوات التالية:

(على سبيل المثال): احسب مساحة دائرة محيطها يساوي π6 سم.

• نعوض قيمة محيط الدائرة في القانون لإيجاد قيمة نصف القطر: محيط الدائرة= π × نصف القطر × 2.
• π = 6π × نصف القطر × 2.
• نصف القطر = 3 سم.
• نعوض قيمة نصف القطر في قانون المساحة لإيجاد المساحة: مساحة الدائرة= π × نصف القطر².
• مساحة الدائرة= π × 3².
• مساحة الدائرة= 9π.

كما يُمكن استخدام القانون التالي والتعويض فيه مباشرةً، ولكن ليس من الضروري حفظه، يكفي حفظ قانون المساحة والمحيط وتعويض القيمة المعطاة في السؤال في القانون الأول لإيجاد القانون الآخر كما فعلنا في الخطوات السابقة:

مساحة الدائرة = محيط الدائرة² / (4×π)

ويُمكن حل المثال السابق باستخدام هذه الطريقة كالآتي:

• مساحة الدائرة = ²(6π) / (4×π)
• مساحة الدائرة = (36π) / 4
• مساحة الدائرة= 9π (نلاحظ أنّ الإجابة هي ذاتها في طريقتي الحل).

حساب محيط الدائرة عند معرفة المساحة

يُمكن حل محيط الدائرة عند معرفة المساحة بالخطوات التالية:

(على سبيل المثال): احسب محيط دائرة مساحتها تساوي 16π سم².

• نعوض قيمة مساحة الدائرة في القانون لإيجاد قيمة نصف القطر: مساحة الدائرة= π × نصف القطر².
• π = 16π × نصف القطر².
• نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لتتخلص من الأس التربيعي؛ نصف القطر²√ = 16√
• نصف القطر = 4
• نعوض قيمة نصف القطر في قانون المحيط لإيجاد المحيط: محيط الدائرة= π × نصف القطر × 2.
• محيط الدائرة= π × 4 × 2.
• محيط الدائرة= 8π
• محيط الدائرة= 25.12

كما يُمكن استخدام القانون التالي والتعويض فيه مباشرةً، ولكن ليس من الضروري حفظه، يكفي حفظ قانون المساحة والمحيط وتعويض القيمة المعطاة في السؤال في القانون الأول لإيجاد القانون الآخر كما فعلنا في الخطوات السابقة:

محيط الدائرة = (4×π×مساحة الدائرة)√

ويُمكن حل المثال السابق باستخدام هذه الطريقة كالآتي:

• محيط الدائرة = (4×π×16π)√.
• محيط الدائرة= 8π
• محيط الدائرة= 25.12

تعتمد قوانين الدائرة بشكل أساسي على نصف القطر، إذ يمكن حساب محيط ومساحة وطول قوس الدائرة وغيرها من خلاله، ويُعرف محيط الدائرة بأنّه طول المسافة الخارجية التي تحيط بالدائرة ويُحسب من خلال ضرب القطر في الثابت π.

مسائل متنوعة على حساب محيط ومساحة الدائرة

وفيما يأتي بعض المسائل على حساب محيط ومساحة الدائرة:

حساب المحيط والمساحة إذا كان نصف القطر معلوم

مثال1: احسب مساحة الدائرة إذا علمتَ أنّ نصف قطرها يساوي 4 سم.

• الحل:
  • باستخدام القانون: مساحة الدائرة= π × نصف القطر².
  • مساحة الدائرة= π × 4².
  • مساحة الدائرة= π × 16
  • مساحة الدائرة= 16 × 3.14
  • مساحة الدائرة= 50.24 سم²

مثال2: احسب مساحة الدائرة إذا علمتَ أنّ نصف قطرها يساوي 9 سم.

• الحل:
  • باستخدام القانون: مساحة الدائرة= π × نصف القطر².
  • مساحة الدائرة= π × 9².
  • مساحة الدائرة= π × 81
  • مساحة الدائرة= 81 × 3.14
  • مساحة الدائرة= 254.34 سم²

مثال3: احسب محيط الدائرة إذا علمتَ أنّ قطرها يساوي 8 سم.

• الحل:
  • باستخدام القانون: محيط الدائرة= π × القطر
  • محيط الدائرة= π × 8.
  • محيط الدائرة= 8 × 3.14
  • محيط الدائرة= 25.12 سم.

مثال4: احسب محيط الدائرة إذا علمتَ أنّ نصف قطرها يساوي 6 سم.

• الحل:
  • باستخدام القانون: محيط الدائرة= π × نصف القطر × 2.
  • محيط الدائرة= π × 6 × 2.
  • محيط الدائرة= π × 12
  • محيط الدائرة= 12 × 3.14
  • محيط الدائرة= 37.68 سم.

حساب المحيط إذا كانت المساحة معلومة

مثال: احسب محيط الدائرة إذا علمتَ أنّ مساحتها تساوي π49 سم².

• الحل:
  • نعوض قيمة مساحة الدائرة في القانون لإيجاد قيمة نصف القطر: مساحة الدائرة= π × نصف القطر².
    • π = π49 × نصف القطر².
    • نصف القطر²√ = (π/π49)√
    • نصف القطر = 7
    • نعوض قيمة نصف القطر في قانون المحيط لإيجاد المحيط: محيط الدائرة= π × نصف القطر × 2.
    • محيط الدائرة= π × 7 × 2.
    • محيط الدائرة= π7.
    • محيط الدائرة= 43.9
  • أو نعوض في القانون مباشرةً: محيط الدائرة = (4×π×مساحة الدائرة)√.
    • محيط الدائرة = (4×π×π49)√.
    • محيط الدائرة= 43.9

حساب المساحة إذا كان المحيط معلوم

مثال: احسب مساحة الدائرة إذا علمتَ أنّ محيطها يساوي 15 سم.

• الحل:
  • نعوض قيمة محيط الدائرة في القانون لإيجاد قيمة نصف القطر: محيط الدائرة= π × نصف القطر × 2.
    • 15 = 3.14 × نصف القطر × 2.
    • نصف القطر = 2.388 سم.
    • نعوض قيمة نصف القطر في قانون المساحة لإيجاد المساحة: مساحة الدائرة= π × نصف القطر².
    • مساحة الدائرة= π × 2.388².
    • مساحة الدائرة= 18.
  • أو نعوض في القانون مباشرةً: مساحة الدائرة = محيط الدائرة² / (4×π)
    • مساحة الدائرة = ²(15) / (4×π)
    • مساحة الدائرة = (225) / (4×π)
    • مساحة الدائرة= 18.