قانون مساحة المخروط

قانون مساحة المخروط

كيفية حساب مساحة المخروط

عند حساب مساحة المخروط أو حجمه فإن المخروط الذي يتم اعتباره لحساب مساحته أو حجمه لتطبيق القوانين عليه هو المخروط القائم وليس المائل، وهو الذي يمتلك قاعدة دائرية ويكون فيه الخط الواصل بين مركز القاعدة ورأس المخروط عمودياً على القاعدة، ويمكن إيجاد المساحة الكلية للمخروط من خلال إيجاد مجموع مساحة القاعدة، والمساحة الجانبية، وفيما يلي توضيح لكل منهما:

  • مساحة القاعدة: تمثل مساحة الدائرة ؛ وذلك لأن القاعدة دائرية الشكل، وهي تساوي (π× نق)؛ حيث: نق: هو نصف القطر.
  • المساحة الجانبية: وهي تساوي (π×نصف القطر× الارتفاع الجانبي أو طول المائل)، حيث يمكن حساب طول المائل، أو الارتفاع الجانبي للمخروط باستخدام العلاقة الآتية: الارتفاع الجانبي للمخروط= (مربع الارتفاع مربع نصف القطر)√.

وبالتالي فإن مساحة المخروط الكلية تساوي:

  • مساحة المخروط الكلية= مساحة القاعدة المساحة الجانبية، وهي تساوي:
  • مساحة المخروط الكلية= π×نق² π×نق×ل، وهي تساوي:
  • مساحة المخروط الكلية= π×نق² π×نق×(ع² نق²)√؛ وبأخذ πنق كعامل مشترك تصبح المعادلة:

مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق (ع² نق²)√)

حيث إنّ:

  • π: ثابت عددي، وقيمته 22/7، 3.14.
  • نق: نصف قطر قاعدة المخروط.
  • ع: ارتفاع المخروط.
  • ل: الارتفاع الجانبي للمخروط أو طول المائل.

أمثلة متنوعة على حساب مساحة المخروط

  • المثال الأول: ما هي مساحة المخروط الذي ارتفاعه 8 وحدات، ونصف قطره 6 وحدات؟

الحل:

  • مساحة المخروط = π×نق×(نق (ع² نق²)√، ويمكن حسابها كما يلي:
    • مساحة المخروط = ((8² 6²)√ 6)×π×6
    • ومنه: مساحة المخروط=π×96 سم².
  • المثال الثاني: ما هي المساحة الكلية لمخروط نصف قطره 6 م، و طول ارتفاعه الجانبي 10 م؟

الحل:

  • مساحة المخروط = π×نق² π×نق×ل، ويمكن حسابها كما يلي:
    • مساحة المخروط = 3.14×6² 3.14×6×10= 301.44م².
  • المثال الثالث: ما هي المساحة الكلية لمخروط نصف قطره 3سم، وارتفاعه 5سم؟

الحل:

  • مساحة المخروط الكلية =π×نق² π×نق×ل، ولحساب المساحة من خلالها يجب اتباع الخطوات الآتية:
  • أولاً: حساب قيمة المائل أو الارتفاع الجانبي (ل)، وذلك من خلال نظرية فيثاغورس ؛ لأن المثلث القائم يمثّل المقطع العرضي للمخروط القائم، وذلك كما يلي:
    • ل² = ع² نق² = 5² 3²= 34، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: ل = 34√= 5.83سم.
  • ثانياً: تطبيق قانون مساحة المخروط، وذلك كما يلي:
    • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق ل)= 3.14×3× (3 5.83)= 83.19 سم².
  • المثال الرابع: إذا كانت المساحة الكلية لمخروط 375 سم، وطول المائل فيه يساوي أربعة أضعاف نصف القطر، فما هو قطر قاعدة المخروط على افتراض أن π=3؟

الحل:

  • وفق معطيات السؤال فإن: ل = 4×نق، وبتعويض هذه القيمة في قانون مساحة المخروط ينتج أن:
    • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق ل)، 375= 3×نق×(نق 4نق)، وبتبسيط المعادلة ينتج أن:
    • 375= 3×5×نق²، وبقسمة الطرفين على (3×5)، ينتج أن: نق²= 25 سم تقريباً، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين فإن: نق= 5سم.
  • بما أن القطر= 2×نق، فإن: القطر= 2×5= 10سم.
  • المثال الخامس: مخروط دائري ارتفاعه الجانبي 15سم، ونصف قطر قاعدته 20سم، فما هي مساحته الجانبية؟الحل:
  • المساحة الجانبية للمخروط = π× نق×ل
  • 3.14×20×15= 942 سم².
  • المثال السادس: ما هي المساحة الجانبية لمخروط نصف قطر قاعدته 5سم، و ارتفاعه الجانبي 20سم علماً أن: π = 22/7؟

الحل:

  • المساحة الجانبية للمخروط = π×نق×ل
  • 22/7×5×20= 314.28 سم².
  • المثال السابع: خيمة على شكل مخروط نصف قطرها 3م، وارتفاعها 4م، فما هي قيمة: الارتفاع الجانبي، والمساحة الجانبية علماً أن π = 3.142؟

الحل:

  • يمكن إيجاد الارتفاع الجانبي (ل) من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس، وذلك لأن المقطع العرضي للمخروط يمثل مثلثاً قائم الزاوية الوتر فيه هو الارتفاع الجانبي، وضلعي القائمة هما الارتفاع (ع)، ونصف القطر (نق)، وذلك كما يلي:
    • ل² = ع² نق² = 3² 4² = 25، ومنه: ل²= 25، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: ل= 5م، وهو الارتفاع الجانبي للخيمة.
  • حساب المساحة الجانبية بتطبيق القانون: المساحة الجانبية للمخروط= π×نق×ل= 3.142×3×5= 47.13 م².
  • المثال الثامن: مخروط دائري قطر قاعدته 3√4، والزاوية المحصورة بين الارتفاع، والارتفاع الجانبي تساوي 30 درجة، فما هي مساحة المخروط الكلية؟

الحل:

  • مساحة المخروط الكلية = π×نق×(نق ل)، ولحسابها فإننا نحتاج إلى قيمة كل من: نصف القطر، والارتفاع الجانبي ويمكن حسابهما كما يلي:
    • حساب نصف القطر عن طريق قسمة القطر على 2؛ نصف القطر= القطر/2= 3√4/ 2 ويساوي 3√2 سم.
    • حساب الارتفاع الجانبي، وهو يمثل الوتر في المثلث قائم الزاوية الذي يشكل نصف القطر فيه إحدى الساقين، والارتفاع الساق الأخرى، والارتفاع الجانبي الوتر، وبتطبيق قانون جيب الزاوية: جا(س)= المقابل/الوتر، ينتج أن: جا(30)= 3√2/ ل، ومنه ل=3√4 سم.
  • تعويض القيم السابقة في قانون مساحة المخروط الكلية لينتج أن: مساحة المخروط الكلية = π×نق×(نق ل)= 3.14×3√2×(3√2 3√4)= 113.04 سم².
  • المثال التاسع: يريد شخص تزيين ست قبعات للاحتفال على شكل مخروط دائري عن طريق تغليفها بأوراق ملونة، فإذا كان نصف قطر كل قبعة منها 4.2سم، وارتفاعها الجانبي 8.6 سم، فما هي مجموع الأوراق الملونة التي يحتاجها لتزيين هذه القبعات؟

الحل:

  • كمية الورق التي يحتاجها= 6×مساحة المخروط الجانبية، لذلك يجب أولاً حساب مساحة المخروط الجانبية، وذلك كما يلي:
    • مساحة المخروط الجانبية= π×نق×ل= 3.14×4.2×8.6= 113.4 سم².
  • حساب كمية الورق الملون اللازمة لتزيين القبعات الستة، وذلك كما يلي:
    • كمية الورق = 6 × مساحة المخروط الجانبية= 6×113.4= 680.5 سم².
  • المثال العاشر: إذا كانت المساحة الجانبية لمخروط دائري تساوي ضعف مساحة القاعدة، وارتفاع المخروط يساوي 9 سم، فما هي المساحة الكلية للمخروط؟

الحل:

  • وفق المعطيات: المساحة الجانبية للمخروط= 2×مساحة القاعدة، وبالتالي:
    • π ×نق×ل =2×π×نق، وبقسمة الطرفين على (π×نق)، ينتج أن:
    • ل= 2×نق.
    • الارتفاع الجانبي للمخروط= (مربع الارتفاع مربع نصف القطر)√، ومنه: 2×نق= (9² نق²)√، وبتربيع الطرفين ينتج أن: 4نق²=81 نق²، ثم وبترتيب المعادلة ينتج أن: 3نق²=81، وبقسمة الطرفين على (3)، وأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: نق= 27√ سم.
  • إيجاد مساحة المخروط كما يلي:
    • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق ل)
    • 3.14×27√×(27√ 27√2)= 254.34 سم².
  • المثال الحادي عشر: مخروط دائري محيط قاعدته 236 سم، وارتفاعه الجانبي (ل) يساوي 12سم، فما هي مساحته الجانبية؟

الحل:

  • المساحة الجانبية للمخروط= π×نق×ل، ولحسابها يجب حساب قيمة نصف القطر أولاً كما يلي:
    • حساب قيمة نصف القطر من خلال محيط القاعدة كما يلي: محيط القاعدة = محيط الدائرة = 2 × π × نق، ومنه: 236 = 2×π×ق، وبقسمة الطرفين على (2×π)، ينتج أن: نق= 37.57سم.
  • بالتعويض في قانون المساحة الجانبية، فإن:
    • المساحة الجانبية = π×نق×ل = 3.14×37.57×12= 1,416 سم.
  • المثال الثاني عشر: خيمة على شكل مخروط دائري يعيش فيها أربعة أشخاص، فإذا كان كل شخص يحتل مساحة 22سم من مساحة القاعدة، فإذا كان الارتفاع الجانبي (ل) للمخروط يساوي 19سم، فما هو ارتفاع هذه الخيمة؟الحل:
  • حساب قيمة نصف قطر المخروط لحساب الارتفاع، وذلك كما يلي:
    • من خلال معرفة أن مساحة القاعدة الدائرية= 4 × 22= 88 سم؛ لأن كل شخص من الأشخاص الأربعة في الخيمة يحتل مساحة 22 سم، وبالتالي:
    • 88=π× نق²، وبقسمة الطرفين على (π)، وأخذ الجذر التربيعي للناتج، ينتج أن: نق= 7√2 سم.
  • يمثل الارتفاع العمود المقام من رأس المخروط المدبب إلى مركز القاعدة الدائرية، وبالتالي فإنه يشكل مثلثاً قائماً، الوتر فيه هو الارتفاع الجانبي، والارتفاع، ونصف القطر هما ضلعا القائمة، وبالتالي فإنه يمكن يمكن إيجاد الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس كما يلي:
    • الارتفاع = (الارتفاع الجانبي² - نصف القطر²)√، ومنه: الارتفاع = 19²- (7√2)²√، ومنه الارتفاع= 18.25 سم، وهو ارتفاع الخيمة.
  • المثال الثالث عشر: تريد فتاة صنع قبعات احتفال على شكل مخروط دائري نصف قطره (نق) يساوي 5سم، وارتفاعه (ع) يساوي 12سم، فإذا كانت تريد صنعه من ورق مساحته الكلية 5,700 سم²، فكم عدد القبعات التي يمكن صنعها من هذا الورق؟

الحل:

  • يتطلب حل هذا السؤال حساب قيمة المساحة الجانبية للمخروط، والتي تساوي: π×نق×ل، ولتحقيق ذلك يجب حساب الارتفاع الجانبي، وذلك كما يلي:
  • من خلال التعويض في القانون: الارتفاع الجانبي للمخروط= (مربع الارتفاع مربع نصف القطر)√، ينتج أن: الارتفاع الجانبي للمخروط= (5² ²12)√= (25 144)√= 169√= 13سم.
  • تعويض قيمة الارتفاع في قانون المساحة الجانبية للمخروط، لينتج أن: المساحة الجانبية للمخروط= 3.14×5×13= 204.1 سم².
  • حساب عدد القبعات= مساحة الورق المتوفر / المساحة الجانبية للمخروط، وبالتالي:
    • عدد القبعات = 5700 / 204.1 = 28 قبعة.
  • المثال الرابع عشر: إذا كان الارتفاع الجانبي (ل) لمخروط دائري يساوي ضعفي قطر القاعدة، ومحيط القاعدة لهذا المخروط يساوي 80 وحدة، فما هي مساحة المخروط؟

الحل:

  • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق ل)، ومن المعطيات: ل= 4×نق، لذلك لحساب المساحة لا بد من حساب قيمة نصف القطر أولاً، وذلك من خلال محيط القاعدة:
    • محيط القاعدة الدائرية= π×نق×2=80، وبقسمة الطرفين على (π×2) ينتج أن: نق = 12.73 وحدة.
  • بتعويض قيمة نصف القطر في قانون المساحة فإن المساحة تساوي:
    • مساحة المخروط الكلية= 5×3.14×(12.73)²= 2,546 وحدة مربعة تقريباً.
  • المثال الخامس عشر: إذا كانت مساحة المخروط الكلية 55π وحدة مربعة، والمسافة بين رأس المخروط المدبب تساوي 6 وحدات، فما هو نصف قطر المخروط؟

الحل:

  • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق ل)، وبتعويض القيم فيها ينتج أن:
    • π×نق×(نق 6) = 55π، وبفك الأقواس وتبسيط المعادلة ينتج أن: نق² 6نق-55=0، وبحل المعادلة التربيعية ينتج أن: (نق 11)(نق-5)=0، ومنه إما نق= -11، أو نق = 5، وبما أن نصف القطر لا يمكن أن يكون سالباً فإن نصف القطر يساوي 5 وحدات.

نظرة عامة حول المخروط

المخروط هو شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية مسطّحة، وضلع ملتف بشكل دائري حول القاعدة، ورأس مدبب، ويمكن صنع مخروط من خلال تدوير المثلث، و لحساب حجم المخروط ، ومساحة سطحه فإنه تجب الإشارة إلى مجموعة من المفاهيم أولاً، وهي:

  • نصف القطر: هو المسافة بين مركز القاعدة الدائرية، ومحيطها.
  • الارتفاع: هو العمود المقام بين مركز القاعدة الدائرية، والرأس المدبب للمخروط بحيث يصنع زاوية قائمة مع القاعدة الدائرية.
  • المائل: أو الارتفاع الجانبي، وهو المسافة بين أية نقطة على محيط القاعدة الدائرية، والرأس المدبب.
32تعليم
مزيد من المشاركات
وظيفة النواة في الخلية

وظيفة النواة في الخلية

وظيفة النواة في الخلية تُشكل الخلايا الوحدة البنائِية الأساسية في جسم الإنسان، وهي المسؤولة عن تكوين الأنسجة الحيّة لأعضاء الجسم ليؤدي كلٍ منها وظيفة محددة، وتحتوي الخلايا على أجزاء دقيقة تسمى بالعُضَيّات ، ومن بينها نواة الخلية التي تؤدي ثلاث وظائف رئيسية، وهي ما يأتي: إنتاج الوحدة البنائية لإنتاج البروتينات في نواة الخلية والتي تُنقَل للرايبوسومات وهو الجزء المسؤول عن تصنيع البروتين. إنتاج أنواع مختلفة من الإنزيمات المسؤولة عن تنظيم عملية التمثيل الغذائي أو كما تعرف بعمليات الأيض. تحتفظ
الفلسفة التجريبية مع جون لوك وديفيد هيوم

الفلسفة التجريبية مع جون لوك وديفيد هيوم

الفلسفة التجريبية مع جون لوك وديفيد هيوم ظهر المذهب الحسّي بصورةٍ تجريبيّة مدعّمة أكثر بالحدس والتأمل الباطنيّ في حلول العصور الحديثة، كما أتى به الفيلسوف الإنجليزيّ جون لوك ، ثمّ أتّبعه بالفكر الفيلسوف الاسكتلنديّ ديفيد هيوم مع إحداث بعض التطورات والتغيرات عليه، وفيما يأتي توضيح الفلسفة التجريبيّة الحسّية تفصيلًا من منظوريّ جون لوك وديفيد هيوم: جون لوك رفض لوك المبادئ، والأفكار، والمعرفة الفطريّة، واعتقد أنّ المعرفة الكاملة والخبرة بالأشياء أساسها الحِسّ، حيثُ تصوّر أن العقل يُولد صفحًة بيضاء
أنواع التنوع الحيوي

أنواع التنوع الحيوي

أنواع التنوع الحيوي يعتبر التنوع الحيوي شبكة معقدة ومترابطة من الكائنات الحية المختلفة التي تتواجد تحت مظلة الأنظمة البيئية ، وكلٌ منها يلعب دورًا مهمًا في إدامتها، ويمكن تقسيم التنوع الحيوي إلى 3 أنواع مخلفة: التنوع الجيني يشير إلى تنوع مجموعة الجينات لنوع معين، أو التنوع على مستوى الحمض النووي، إذ لا يتشابه أي فردين من نفس النوع بنفس الجينات ، مثلًا، إذا أصاب مرض مميت مجموعة سكانية ما، فإن المستويات العالية من التنوع الجيني تزيد من احتمالية وجود أفراد أقل تأثراً بالمرض. من خلال حماية جزء من
ما هي الهندسة الصناعية

ما هي الهندسة الصناعية

الهندسة الصناعيّة الهندسة الصناعيّة هي عبارة عن فرع من فروع الهندسة، حيث تشتملُ على معرفة طريقة أداء الأشياء والعمليّات المختلفة، وجَعلها تعمل بشكل أفضل؛ فهي تتناول في طيّاتها عمليّات التصميم، والتطوير، والتشغيل، والاختبار لمُختلَف الأنظمة الصناعيّة التي تُفيدُ الإنسان، وتُحسِّن من عمليّة الإنتاج ، كما تُحسِّن الهندسة الصناعيّة من أساليب العمل والإنتاج؛ للوصول إلى كلّ ما هو أفضل، إذ يَهدفُ المهندس الصناعيّ في عمله إلى خَفْض تكاليف الإنتاج، وزيادة كفاءة العمليّات، كما يهتمُّ بتحسين جودة
تعريف الإرشاد الأكاديمي

تعريف الإرشاد الأكاديمي

مفهوم الإرشاد الأكاديمي يعبر الإرشاد الأكاديمي عن عملية تنموية تساعد الطلاب في توضيح أهداف حياتهم، وفي وضع الخطط التعليمية لتحقيق هذه الأهداف، فهي عملية صنع القرار التي يدرك الطلاب من خلالها أقصى إمكاناتهم التعليمية من خلال التواصل وتبادل المعلومات مع أحد المستشارين. يعتبر عملية مستمرة ومتعددة الأوجه وتقع على عاتق الطالب والمستشار، تتمحور عملية تقديم المشورة حول الطالب وستؤدي إلى اكتساب الطالب فهمًا أوضح لنفسه ولتجربة التعليم العالي وعلى تعزيز وعي الطالب الذاتي وتحقيقها. يحدث الإرشاد الأكاديمي
أشهر علماء علم الوراثة

أشهر علماء علم الوراثة

أشهر علماء علم الوراثة ظهر العديد من علماء علم الوراثة منذ القِدم وإلى وقتنا هذا، وفيما يلي أشهر علماء علم الوراثة: غريغور مندل هو غريغور يوهان مندل ، عالم النبات النمساوي الذي ولد في 22 يوليو 1822م، ووضع الأساس الرياضي لعلم الوراثة، درس غريغور في فيينا، ثمّ بدأ بعدها تجاربه الأولى التي ساعدته في تكوين الأساس لعلم الوراثة، وقد جرّب البازيلاء الصالحة للأكل، ليُصنفها حسب الطول ولون البذور ليصل في النهاية للجينات وتفاصيلها، توفي غريغور في 6 يناير 1884م. ألبريشت كوسيل هو الدكتور ألبريشت كوسيل،
اهتمامات الصحة البيئية

اهتمامات الصحة البيئية

الصحة البيئية تعتبر الصحة البيئية فرعًا من أحد فروع الصحة العامة التي تهتم بالنواحي الطبيعية والبيئية التي تقوم بالتأثير في صحة الأفراد، ومن المجالات الفرعية الرئيسية للصحة البيئية هي: علم البيئة ؛ والطب البيئي والمهني، وعلم السموم والأوبئة. ما هي اهتمامات الصحة البيئية من اهتمامات الصحة البيئية ما يلي: المحافظة على جودة الهواء: وتشمل كل من الهواء المحيط أو ما يعرف بالهواء الخارجي وجودة الهواء الداخلي، والتي تحتوي على مخاوف بشأن دخان التبغ. السلامة الحيوية: والتي تمثل الجاهزية التامة للكوارث
أفضل رياضة للجسم

أفضل رياضة للجسم

الرياضة إنّ الرياضة هي وسيلة للعيش السعيد بعيداً عن الشيخوخة؛ حيث تُعتبر الطريقة الأمثل للحفاظ على الصحة وتحسين المزاج العام؛ لما لها من آثار عظيمة في خفض نسب الإصابة بالأمراض؛ فهي تُخفّض نسب السكر في الدم، وتعيد توازن الضغط في الجسم، وتخلّصه من التوتر والعصبية، كما يمكن من خلال الرياضة حرق السعرات الحرارية الزائدة التي تجنّب معظم أمراض العصر؛ كالسمنة، وارتفاع الكولسترول، وأمراض القلب؛ كالجلطات وتصلب الشرايين. تتنوّع الرياضات التي يمارسها الأفراد حول العالم؛ فهناك رياضة المشي والجري والسباحة