قانون مساحة القطاع الدائري

طرق حساب مساحة القطاع الدائري

يتم التعبير عادة عن مساحة الدائرة كاملة بالقانون: π×نق² ، وعندما يتطلب الأمر حساب مساحة جزء من الدائرة فإن ذلك يتم من خلال زاوية القطاع الدائري، ولأن قياس زوايا الدائرة كاملة يساوي 360 درجة، فإن نسبة زاوية القطاع الدائري إلى 360 درجة تتناسب مع مساحة الجزء من الدائرة المراد قياس مساحته.

وبشكل عام تعتمد مساحة القطاع الدائري في أي دائرةٍ على الزاوية المركزيّة لهذا القطاع؛ فكلما زادت الزاوية المركزية له زادت زادت مساحة القطاع، وكلما نقصت قلت مساحته، كما تتناسب طردياً مع طول قوس القطاع، ورياضيّاً يمكن حسابها باستخدام أحد القوانين الآتية:

عند معرفة مساحة الدائرة وزاوية القطاع بالدرجات

يمكن حساب مساحة القطاع الدائري عند معرفة مساحة الدائرة وزاوية القطاع بالدرجات من خلال القانون التالي:

مساحة القطاع الدائري=مساحة الدائرة كاملة×(زاوية القطاع/360)= (π×مربع نصف القطر)× (زاوية القطاع/360)

وبالرموز:

مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)

حيث أن:

π: الثابت باي، وتعادل قيمته 3.14.
نق: نصف قطر الدائرة.
هـ: قياس الزاوية المركزية أو زاوية القطاع بالدرجات.

مثال توضيحي: دائرةٌ طول نصف قطرها يساوي 5 سم، وفيها قطاعٌ دائريٌ زاويته المركزية تساوي 60 درجة، فما هي مساحة هذا القطاع.

الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)=5²×3.14×(60/360)=13.09سم².

عند معرفة نصف قطر الدائرة وزاوية القطاع بالراديان

يمكن حساب مساحة القطاع الدائري عند معرفة نصف قطر الدائرة وزاوية القطاع بالراديان من خلال القانون التالي:

مساحة القطاع الدائري=0.5×زاوية القطاع× مربع نصف القطر

وبالرموز:

مساحة القطاع الدائري= 0.5×نق²×هـ

حيث أن:

نق: نصف قطر الدائرة.
هـ: قياس الزاوية المركزية أو زاوية القطاع بالراديان.

مثال توضيحي: دائرةٌ طول نصف قطرها يساوي 5 سم، وفيها قطاعٌ دائريٌ زاويته المركزية تساوي 3راديان، فما هي مساحة هذا القطاع.

الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= 0.5×زاوية القطاع× مربع نصف القطر=0.5×3×5²=37.5سم².

عند معرفة طول قوس القطاع

يمكن حساب مساحة القطاع الدائري عند معرفة طول قوس القطاع من خلال القانون التالي:

مساحة القطاع الدائري= (نصف القطر×طول قوس القطاع)/2

مثال توضيحي: جد مساحة القطاع الدائري الذي يبلغ طول قوسه 30سم، ونصف قطره 10سم.

الحل: باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري= (نصف القطر×طول قوس القطاع)/2، ينتج أن مساحة القطاع الدائري= (10×30)/2=150سم².

أمثلة متنوعة حول مساحة القطاع الدائري

وفيما يأتي أمثلة متنوعة على مساحة القطاع الدائري:

المثال الأول: إذا كانت مساحة القطاع الدائري 35.4سم²، جد زاوية هذا القطاع إذا كان نصف قطر الدائرة 6سم.
- الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)، ينتج أن: 35.4=6²×3.14×(هـ/360)، ومنه هـ=112.67درجة.

المثال الثاني: دائرةٌ طول نصف قطرها يساوي 42سم، وفيها قطاعٌ دائريٌ زاويته المركزية تساوي 120 درجة، فما هي مساحة هذا القطاع.
- الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري=π×نق²×(هـ/360)=42²×3.14×(120/360)=1848سم².

المثال الثالث: إذا كان نصف قطر القطاع الدائري 3م، وطول القوس المقابل له 5πسم علماً أن زاويته مقاسة بالراديان، جد مساحة هذا القطاع الدائري.
- الحل:
  - باستخدام قانون طول القوس=نق×θ، ينتج أن 3θ=5π، ومنه θ=5π/3راديان
  - باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= 0.5×زاوية القطاع× مربع نصف القطر=3²×0.5×5π/3، ومنه مساحة القطاع الدائري=23.55سم².

المثال الرابع: إذا كانت مساحة قطاع دائري 108سم²، وطول القوس المقابل له 12سم، جد قطر هذه الدائرة.
- الحل:
  - باستخدام قانون طول القوس=نق×θ، ينتج أن: 12=نق×θ.
  - باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري= 0.5×زاوية القطاع× مربع نصف القطر، ينتج أن: 108=0.5×θ×نق².
  - بتعويض قيمة المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ينتج أن: 108=0.5×(θ×نق)×نق=0.5×12×نق، ومنه نق=18سم، وهي قيمة نصف القطر، أما قيمة القطر (ق) فتساوي 2نق=2×18=36سم.
  - يمكن حل هذا المثال بطريقة أخرى تتمثل باستخدام القانون: مساحة القطاع الدائري= (نصف القطر×طول قوس القطاع)/2، ومنه 108=(نق×12)/2، ومنه نق=6سم، أما طول القطر فيساوي ق=2نق=2×18=36م.

المثال الخامس: إذا كانت العلبة المخصّصة لحفظ البيتزا مربعة الشكل، وكانت مساحتها 256سم²، وأبعادها تزيد بمقدار 4سم عن قطر البيتزا كاملة والمقسّمة إلى ثماني قطع، جد مساحة القطعة الواحدة من البيتزا.
- الحل:
  - حساب قطر البيتزا عن طريق حساب طول ضلع العلبة مربعة الشكل أولاً، ثم طرح العدد 4 منه، وحيث إن طول ضلع العلبة²=مساحة العلبة وفق قانون مساحة المربع، فإن 256= ضلع العلبة²، وعليه ضلع العلبة=16سم، أما قطر البيتزا فيساوي=16-4=12سم، ونصف قطرها=12/2=6سم.
  - حساب مساحة البيتزا كاملة باستخدام قانون مساحة الدائرة=πنق²=3.14×6²=113.04سم².
  - قسمة مساحة البيتزا كاملة على 8 لينتج أن مساحة القطعة الواحدة والتي تمثّل قطاعاً دائرياً فيها=113.04/8=14.13سم².

المثال السادس: إذا كانت هناك كعكة دائرية الشكل طول قطرها 30سم، تم تقطيعها إلى ستة أقسام متساوية، جد مساحة كل قطعة من الكعك إذا كانت الزاوية المركزية لكل منها 60 درجة.
- الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)=3.14×15²×(60/360)=117.8سم²، وهي مساحة كل قطعة من قطع الكعك الستة.

المثال السابع: إذا كان قياس زاوية القطاع 40 درجة، ومساحته 20سم²، جد طول القوس المقابل له.
- الحل:
  - باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)، ينتج أن: 20=3.14×نق²×(40/360)، ومنه نق=7.6سم.
  - باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري=(نصف القطر×طول قوس القطاع)/2، ينتج أن: 20=(7.6×طول قوس القطاع)/2، ومنه طول قوس القطاع=5.3سم.

2023-12-1740تعليم

مزيد من المشاركات

أفضل الروايات المصرية القديمة

أهم الروايات المصرية القديمة هذه قائمة بأفضل الروايات المصرية منذ بداياتها في أوائل القرن العشرين: رواية زينب تعتبر رواية زينب أول رواية في عالم الأدب الروائي العربي عامة، فهي الحجر الأساس الذي قامت عليه الرواية العربية ، لمؤلفها محمد حسين هيكل عام 1914م، وتدور أحداث الرواية في الريف المصري ، وتتحدث عن المرأة والمشكلات التي تتعرض لها نتيجة التهميش، وضياع الحقوق وهو ما يخالف الشريعة بشكل كامل، وقد طرح في روايته علاجًا لهذا من خلال إتاحة الفرصة للمرأة للخروج إلى الحياة العملية وخوض غمار تجربتها

أسماء الألعاب الأولمبية الشتوية

أسماء الألعاب الأولمبية الشتوية الرياضات الشتوية التي ستشكل جزءًا من أولمبياد بكين لشهر فبراير وهي كما يأتي: التزلج على جبال الألب (Alpine Skiing). بياثلون (Biathlon). المزلقة (Bobsled). التزلج عبر الضاحية (Cross-Country Skiing). الشباك (Curling). التزلج على الجليد (Figure Skating). التزلج الحر (Freestyle Skiing). الهوكي الجليدي (Ice Hockey). زحليقة (Luge). التزلج النوردي المزدوج (Nordic Combined). الزلاجات الصدرية (Skeleton). قفز تزلجي (Ski jumping). التزلج على الثلوج (Snowboarding). تزلج

كيفية عمل مطويات

المطوية المطوية أو المنشور وسيلة مهمة وبسيطة في نشر المعلومات؛ حيث إنّ المطوية تستخدم لتقديم معلومات مختصرة وقصيرة عن شيء محدد حتى يأخذ القارئ فكرةً رئيسيّة عن الموضوع الذي تدور المطوية حوله قبل أن يدخل لقراءة التفاصيل الفرعية، وقد تكون غير مفهمومة أحياناً. استخدامات المطوية تستخدم المطوية لأهدافٍ كثيرة وبمجالات عدة منها ما يلي: عروض لشركة: في حال قامت الشركة بإنتاج منتج أو فكرة معينة، وتريد توضيح الفكرة الرئيسة بشكل مبسّط فتلجأ لعمل مطويات. الجامعات: تقوم الجامعات بتقديم منشورات للطلبة الجدد

إدارة الموارد المائية في العراق

إدارة الموارد المائية في العراق تمّ تطوير خطط لإدارة الموارد المائية وتنميتها في العراق منذ عام 1960-1980م، وساهمت الوكالة الأمريكية للتنمية الدولية (USAID) بالتعاون مع وزارة المياه والموارد المائية على إنشاء خطة لتطوير الوضع المائي في عام 2005م، وخلال الخطة التي تم العمل عليها في فترة 2007-2010م تمّ نشر لوائح وتعليمات لكيفية إدارة الموارد المائية. ساعد من جهة أخرى برنامج الأمم المتحدة الإنمائي (UNDP) في تطوير استراتيجية تُساهم في إدارة متكاملة للمياه والتنمية المؤسسية، أمّا في عام 2015م فإنّ

أشهر كلمات في اللغة العربية لها أكثر من معنى

كلمات في اللغة العربية لها أكثر من معنى تعد لغتنا العربية بحراً من الكلمات التي تحمل أكثر من معنى ومنها ما يأتي: العين من معاني كلمة العين ما يأتي: تأتي كلمة العين بمعنى إحدى الحواس الخمس للإنسان وهي حاسة الرؤيا والنظر والإبصار، كقول الشاعر صريع الغواني: إِن يَحجُبوها عَنِ العُيونِ فَقَد حَجَبتُ عَيني لَها عَنِ البَشَرِ تأتي بمعنى تدفق المياه من الأرض والتي نسميها ينبوعاً، على سبيل المثال قول الله تعالى: {وَفَجَّرْنَا الأَرْضَ عُيُونًا}. جاءت كلمة العين بمعنى الحسد وتمني زوال النعمة عن

الصفة المشبهة في اللغة العربية وأنواعها

ما هي الصفة المشبهة؟ هي صفةٌ مشتقّةٌ من الفعل اللّازم للدّلالة على معنى ثابت للموصوف بها، وذلك على نحو: حسن، كريم، أسود، وقد تأتي الصّفة المشبّهة من بعض الأفعال المتعدّية ، وذلك على نحو: عليم، وقد سمّيت "الصفة المشبهة باسم الفاعل" بهذا الاسم وشُبّهت بالفاعل لأنّها تُثنّى وتُجمع وتؤنث وتُذكّر حالها كحال اسم الفاعل ، وكذلك هي تدلّ على الحدث وصاحبه، فعندما يقال: كريم، فإنّ الصّفة المشبّهة تدلّ على حدث الكرم، وكذلك تشير إلى فاعله، وشُبّهت باسم الفاعل أيضًا لأنّها قد تنصبُ مفعولًا به. أوزان الصفة

أهمية الرياضة

مقدّمة لا يمكن لأيّ إنسانٍ مهما كان أن ينكر أهميَّة الرياضة وفوائدها العديدة والمتنوّعة على صحَّة جسم الإنسان، فالرياضة هي واحدةٌ من أهمِّ الأولويَّات التي يجب أن لا تغيب عن حياة الإنسان مهما كانت مشاغله، وكما قال القدماء: (في الحركة بركة). بسبب الراحة الكبيرة التي وفَّرتها التقنيات الحديثة للإنسان، ظهرت العديد من الأمراض التي نتجت بشكلٍ رئيسيّ عن قلَّة ممارسة الرياضة وزيادة كتلة الجسم؛ فأجسام الناس اليوم ليست كالأجسام السابقة، فقد نجا الناس من الموت المحقَّق بسبب التطور التكنولوجيّ الهائل

أضرار التدخين على البيئة

أضرار التدخين على البيئة تُوضّح النقاط الآتية أضرار التدخين وآثاره المُدمّرة على البيئة: إزالة الغابات تُعتبر مادة التبغ المكوّن الرئيسي لصناعة السجائر، وتُزرع هذه المادة في الغابات المطيرة، ويُشار إلى أنّ زراعة التبغ بدأت في الحقول الصغيرة، وأصبحت فيما بعد تُغطّي مساحات شاسعة من الحقول الكبيرة، إذ إنّ الحاجة إليها تُؤدي إلى إزالة الغابات في المناطق المزروعة فيها وبالتالي إلحاق الضرر في البيئة، ويجدر بالذكر أنّ أعقاب السجائر المُحترقة أو قدّاحات السجائر تتسبّب في إشعال الحرائق بشكل لا يُعدّ