قانون ضعف الزاوية

قانون ضعف الزاوية

صيغ قانون ضعف الزاوية

يرتبط مفهوم قانون ضعف الزاوية (بالإنجليزية: Double Angle) بالاقترانات المثلثية الثلاث، وهي الجيب، وجيب التمام، والظل، والتي هي عبارة عن علاقات تربط بين أضلاع المثلث قائم الزاوية بالنسبة لزواياه، ويجدر بالذكر أنّ ضعف الزاوية يعني ضرب قياس الزاوية بالعدد 2، أو مضاعفته، ولقانون ضعف الزاوية أشكال عدة هي:

  • جا (2س)=2 جا(س) جتا(س)=2 ظا(س)/ (1 ظا²(س)).
  • جتا (2س)=جتا²(س)-جا²(س)=2 جتا²(س)-1=1-2 جا²(س)=(1-ظا²(س))/(1 ظا²(س)).
  • ظا (2س)=2 ظا(س)/ (1-ظا²(س)).

أمثلة تطبيقية على قانون ضعف الزاوية

  • المثال الأول: إذا كانت س زاوية في الربع الثالث، وكانت قيمة جا(س)=-3/5، جد قيمة جا(2س)،جتا(2س)، ظا(2س).

الحل:

  • من خلال تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ، ومعرفة حقيقة أن جيب التمام سالب القيمة في الربع الثالث، وأن الظل موجب القيمة ينتج أن:
  • جتا(س)=-4/5، ظا(س)=3/4.
  • بتطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)=2×-3/5×-4/5=24/25.
  • بتطبيق قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)=1-(2ײ(3/5))=0.28.
  • بتطبيق قانون ظا(2س)=2ظا(س)/(1-ظا²(س))=2×(3/4)/(1-²(3/4))=24/7.
  • المثال الثاني: جد قيمة جا(2س) إذا كانت قيمة جتا(س)=4/5، والزاوية س في الربع الأول.

الحل:

  • بتمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ينتج أن جا(س)=3/5.
  • بتطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س) ينتج أن:
  • جا(2س)=2×(3/5)×(4/5)=24/25.
  • المثال الثالث: إذا كانت س زاوية حادة، وكان جا(س)=0.6، جد قيمة جا(2س).

الحل:

  • تحويل قيمة جا(س) إلى كسر مكوّن من بسط ومقام، ليصبح جا(س)=6/10.
  • تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس لينتج أن: جتا(س)=8/10.
  • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س) لينتج أن:
  • جا(2س)=2×6/10×8/10=48/50=0.96.
  • المثال الرابع: جد قيمة جا(2×ظا (3/4)).

الحل:

  • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)، لينتج أن:
  • جا(2×ظا (3/4))=2جا(ظا (3/4)جتا(ظا (3/4)).
  • تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس لينتج أن:
  • جتا(ظا (3/4))= 4/5، جا(ظا(3/4))=3/5.
  • تعويض الأرقام في القانون أعلاه لينتج أن:
  • جا(2×ظا (3/4))=2×3/5×4/5=24/25.
  • المثال الخامس: إذا كانت قيمة جا(س)=أ، جد قيمة جتا(2س).

الحل:

  • بتطبيق قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)=1-2أ².
  • المثال السادس: إذا كانت س زاوية في الربع الثالث، وكانت قيمة ظا(س)=0.83، جد قيمة جتا(2س).

الحل:

  • بتطبيق قانون جتا(2س)=(1-ظا²(س))/(1 ظا²(س))=(1-0.83²)/(1 0.83²)=0.1842
  • المثال السابع: جد قيمة جتا(2س) إذا كانت قيمة جا(س)=5/5√.

الحل:

  • باستخدام قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)، ينتج أن: جتا (2س)=±(1-2(5/5√)²)=3/5±.
  • المثال الثامن: إذا كانت قيمة قتا(س)=3/3√2، وكانت الزاوية س في الربع الأول، جد قيمة جا(2س) جتا(2س).

الحل:

  • قتا(س)=3/3√2=1/جا(س)، ومنه جا(س)=3√3/2، وبتمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ينتج أن: جتا(س)=1/2.
  • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)=2×(3√3/2)×(1/2)=3√3/2.
  • تطبيق قانون جتا(2س)=2جتا²(س)-1=2ײ(1/2)-1=1/2؛ وعليه جتا(2س)=-1/2؛ لأن ضعف الزاوية يقع في الربع الثاني، وعليه فهو سالب القيمة.
  • حساب قيمة جا(2س) جتا(2س)=3√3/2 1/2-=3√2/(3√-3)

أمثلة إثبات على قانون ضعف الزاوية

  • المثال الأول: أثبت أن (1-ظا²(ٍس))/قا²(س)=جتا(2س).

الحل:

  • بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
  • (1-ظا²(ٍس))/قا²(س)=(1-(جا²(س)/جتا²(س))×(1/قا²(س)).
  • (1-(جا²(س)/جتا²(س))×جتا²(س)=جتا²(س)-جا²(س)=جتا(2س).
  • المثال الثاني: أثبت أن 2قتا(2س)ظا(س)=قا²(س).

الحل:

  • بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
  • 2قتا(2س)ظا(س)=2×(1/ (2جا(س)جتا(س)))×(جا(س)/جتا(س))=1/جتا²(س)=قا²(س).
  • المثال الثالث: أثبت أن: قتا(2س)-ظتا(2س)=ظا(س).

الحل:

  • بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
  • قتا(2س)-ظتا(2س)=1/جا(2س)-جتا(2س)/جا(2س)=(1-جتا(2س))/جا(2س).
  • تعويض جتا(2س)=(1-2جا²(س))، جا(2س)=2جا(س)جتا(س) في القيمة السابقة لينتج أن:
  • قتا(2س)-ظتا(2س)=(1-(1-2جا²(س)))/2جا(س)جتا(س)=جا(س)/جتا(س)=ظا(س).
36تعليم
مزيد من المشاركات
مفهوم الهندسة الرياضية

مفهوم الهندسة الرياضية

مفهوم الهندسة الرياضية الهندسة الرياضية (بالإنجليزية: Geometry) هي فرع من فروع الرياضيات، تهتم بدراسة أحجام الأشياء وأشكالها وزواياها وأبعادها، واشتق اسم الهندسة الرياضية الجيومتري من الكلمات اليونانية جيو (بالإنجليزية: geo) وتعني الأرض، وميترين (بالإنجليزية: metrein) تعني قياس، وكأن الهندسة الرياضية أو الجيومتري هو العلم المعني بدراسة وقياس الأرض، إلا أنه لاحقًا، تم إدراك أن الهندسة الرياضية لا تقتصر على دراسة سطح الأرض فقط، بل يضاف إليها دراسة الأسطح المسطحة الأخرى والأبعاد الهندسية للأشكال
معلومات عن معركة قادش

معلومات عن معركة قادش

ما هي معركة قادش؟ تعدُّ معركة قادش واحدة من أشهر المعارك في التاريخ القديم، وقعت المعركة بين المصريين بقيادة الملك رمسيس الثاني والحثيين بقيادة الملك مواتللي الثاني، بالقرب من مدينة قادش التي تقع على ضفة نهر العاصي الغربية جنوب بحيرة حمص في سوريا، ويعود تاريخها إلى العام الخامس من تولي رمسيس الثاني الحكم في مصر، ويوافق ذلك عام 1274 قبل الميلاد تقريبًا. ما أسباب معركة قادش؟ فيما يلي أبرز المعلومات حول أسباب اندلاع معركة قادش: بدأ النفوذ الفرعوني بالانحسار في منطقة آسيا في أواخر عهد ملوك الأسرة
ميكانيزمات الدفاع عند فرويد

ميكانيزمات الدفاع عند فرويد

ميكانيزمات الدفاع عند فرويد يرى فرويد أنّ ميكانيزمات الدفاع هي واحدة من الطرق التي يتكيف فيها الناس مع القلق حيث تلجأ الأنا إلى استخدام أساليب دفاع مختلفة أمام المواقف التي تُواجهها وتُهددها بالخطر، إذ تقوم آليات الدفاع بإنكار الحقيقة أو تشويهها أو تزويرها، ويتم استخدامها بشكلٍ لا شعوري، وقد تكون هذه الوسائل الدفاعية وسائل صحية، ولها قيمة تكيفية إذا لم تُصبح أسلوب حياة رئيسي في التعامل مع المشكلات ومواجهة الحقائق والمواقف المقلقة. أنواع ميكانيزمات الدفاع لميكانيزمات الدفاع أنواع عدة، وهي كما
ما الفرق بين الصلصال والطين؟

ما الفرق بين الصلصال والطين؟

الفرق بين الطين والصلصال يُوجد العديد من الفروقات بين الطين والصلصال، وفيما يأتي أبرز هذه الفروقات: الفرق من حيث المكونات فيما يأتي بيان لمكونات كل من الطين والصلصال: الطين يتكون الطين من معادن التربة، إضافة إلى الطمي والصلصال. الصلصال يتكون الصلصال من مجموعات سليكات الألمنيوم المائيّة، ومعادن مهمّة بالإضافة إلى الفلزات و العناصر القلويّة ، مثل: الحديد والمغنيسيوم والبوتاسيوم والصوديوم والكالسيوم وغيرها. الفرق من حيث آلية التكوّن فيما يأتي بيان للفرق بينهما بناءً على آلية تكوّن كل منهما: الطين
قانون التوزيع في الضرب

قانون التوزيع في الضرب

كيفية استخدام خاصيّة التوزيع في الضرب يعتبر قانون التوزيع (بالإنجليزية: Distributive Law) في الرياضيات قانوناً متعلقاً بعمليات الضرب والجمع، فهو من خصائص عملية الضرب ، ويتّضح من هذا القانون أن نتيجة جمع مجموعة من الأعداد ثم ضرب ناتج جمعهم بعدد آخر هي ذاتها نتيجة ضرب كل عدد منها على حدى بهذا العدد ثمّ جمع النواتج، ويعبّر عن هذا القانون بالرموز: أ×(ب ج) = أ×ب أ×ج إذ إن؛ أ: العدد الأول. ب: العدد الثاني. ج: العدد الثالث. حيث يُوزَّع التعبير الجبري الأحادي أ على كل حد من حدود التعبير الجبري ذي
علاقة الإنتاج الحيواني بالزراعة

علاقة الإنتاج الحيواني بالزراعة

الإنتاج الحيواني يشمل قطاع الإنتاج الحيواني تربية الماشية وتربية الحيوانات لأغراض الإستعمال أو للمتعة. تشمل المواشي كل من الأبقار والأبقار الحلوب والأغنام والماعز والخيول والبغال والحمير والجاموس والإبل؛ ويتم التعامل مع الطيور بشكل منفصل لغايات إنتاج اللحوم أو البيض مثل الدجاج والديك الرومي والبط والإوز. يتضمن الإنتاج الحيواني عمليات إنتاج الألبان ورعاية الأبقار والعجول، والحيوانات المباعة أو بيع اللحوم، والحيوانات التي يتم الاحتفاظ بها خارج المزرعة، ونوع نظام الإدارة وعدد الحيوانات وسلالاتها
المواطنة الرقمية في التدريس التربوي

المواطنة الرقمية في التدريس التربوي

المواطنة الرقمية في التدريس التربوي  انتشر مفهوم المواطنة الرقمية في الآونة الأخيرة خصوصاً في البيئة التعليمية، وقد أدخلت العديد من المؤسسات التربوية لمفهوم المواطنة الرقمية في عملية التدريس، وذلك على النحو التالي: التأهيل التكنولوجي للطلبة أصبح مواكبة التغيرات الرقمية أمراً ضرورياً في كافة مناحي الحياة، لذا فمن الواجب على المؤسسات التربوية تأهيل طلبتها على استخدام الوسائل والأجهزة التكنولوجية المختلفة وتدريبهم على التعامل مع مختلف أشكال التعليم الإلكتروني ، وهو ما يعزز من ثقتهم بأنفسهم حال
ريادة الأعمال والمشروعات الصغيرة

ريادة الأعمال والمشروعات الصغيرة

ريادة الأعمال والمشروعات الصغيرة يوجد ارتباط وثيق بين مفهوميّ ريادة الأعمال والمشاريع الصغيرة، حيث تكون ريادة الأعمال بافتتاح المشاريع، والتي يُمكن أن تكون مثالًا على المشاريع الصغيرة، والرياديّ هو الشخص المسؤول عن المشاريع المختلفة الكبيرة منها أو الصغيرة كما أنّه المسؤول على إنجاح هذه المشاريع وتطويرها بحسب حاجة السّوق والتطورات التقنيّة. تختلف ريادة الأعمال عن المشاريع الصغيرة بأنّ المشاريع الصغيرة تواجه التحديات المعروفة والمتوقعة، بينما تواجه ريادة الأعمال التحديات غير المعروفة وغير