قانون ستيفان بولتزمان

ما هو قانون ستيفان بولتزمان؟

ينص قانون ستيفان بولتزمان على أنَّ الطاقة الكاملة المنبعثة من الجسم الأسود بوحدة واط في الثانية لكل وحدة مساحة تتناسب مع القوة الرابعة لدرجة حرارة الجسم المطلقة بوحدة كلفن، إذ يصف القانون قدرة الجسم على امتصاص الأشعة الساقطة على سطحة عند درجة حرارة معينة، والجسم الذي له قدرة فعالة جدًا على امتصاص وانبعاث الأشعة هو الجسم الأسود، وكلما زادت سخونة ودرجة حرارة الجسم الأسود، زاد إشعاعه.

معنى الجسم الأسود في قانون ستيفان بولتزمان

يعبّر الجسم الأسود عن حالةٍ مثاليَّة لجسمٍ يمتص كلَّ الضوء الوارد إليه دون أن يعكس شيئاً منها، ومن الناحية النظرية فهذا يقتضي أن يكون شديد السَّواد، وألَّا يصدر أيَّ إشعاعٍ منه، والواقع يُخالف ذلك؛ حيث يُصدر هذا الجسم إشعاعاً حرارياً على شكل ضوءٍ أحياناً، ويمكن أن نُمثِّل ذلك بثقبٍ صغيرٍ في تجويفٍ تكون درجة حرارة جدرانه ثابتة، وهو يمثّل سطح الجسم الأسود.

ويعود السبب في ذلك إلى أنَّ أيَّ إشعاعٍ يسقط على الثُّقب سوف يُمتص داخل التَّجويف بعد أن ينعكس عدَّة انعكاسات عديدة داخله، ولذلك يطلق على الإشعاع الذي يخرج من ثقب في جدار التجويف اسم إشعاع الجسم الأسود، كما يعد جسماً مثاليّاً يحقق ثلاثة شروط:

• يمتصُ كل الإشعاع الكهرومغناطيسي (الضوء) الساقط عليه.
• يشعّ إشعاعاً حراريّاً يتناسبُ مع حرارته على كامل الأطوال الموجية.
• يكون الإشعاع الصادر عنه بشكلٍ متواحد الخواص (متساوٍ في كل الاتجاهات).

اكتشاف قانون ستيفان بولتزمان

تمّ اكتشاف هذا القانون تجريبيّاً على يد ستيفان عام 1879م، ثمّ برهنَهُ رياضياً بولتزمان عام 1884م من عمليّات ترموديناميكية دقيقة ونعني بها: عملية تغيّر نظام حركةٍ حراريَّةٍ من حالةٍ إلى حالةٍ أخرى، مثل: رفع درجة حرارة النِّظام، ويُعتبر هذا القانون هو الأساس الذي اشتقّت منه قوانين الحرارة التي يفترض أن تكون الأرض عليها إذا كانت تخضعُ لقانون الجسم الأسود المثالي.

أجرى العلماء اشتقاقاتٍ رياضيّة ونتج عنها أنَّه وعند مقارنة درجة الحرارة الفعَّالة الناتجة بما هي عليه الأرض فعلاً لوجدنا أنَّ درجة حرارة الأرض أكثر بحوالي 33 درجة، إلّا أنَّ متوسط درجة حرارة سطح الأرض حوالي 15 درجة مئوية، والسبب في ذلك الاختلاف يعود إلى تأثير الغازات الدفيئة والتي تحبس درجة حرارة الأرض، والتي تُخلُّ بقانون الاتزان.

صيغة قانون ستيفان بولتزمان

يوضح قانون ستيفان بولتزمان أنّ كمية الإشعاع المنبعثة لكل وحدة مساحة سطح جسم أسود تتناسب تناسبًا طرديًا مع القوة الرابعة لدرجة حرارة الجسم الأسود، ويُعبر عنه بالصيغة الرياضية التالية:

كمية الإشعاع المنبعث لكل وحدة الزمن لكل وحدة مساحة = ثابت بولتزمان × القوة الرابعة لدرجة حرارة الجسم الأسود

ويُمكن تمثيله بالرموز كالتالي:

كمية الإشعاع المنبعث لكل وحدة الزمن لكل وحدة مساحة= ث × د (الجسم الأسود)

وبالرموز الإنجليزية:

­­j* = σ × T

حيث أنّ:

• ­­j*: كمية الإشعاع المنبعث لكل وحدة زمن لكل وحدة مساحة، ويُقاس بوحدة جول لكل ثانية في المتر المربع (جول/ث.م²)، أو واط لكل متر مربع (واط/م²).
• σ: ثابت بولتزمان وقيمته (5.67 × 10) ويُقاس بوحدة واط لكل متر مربع في القوة الرابعة للكلفن (واط/م².كيلفن²).
• T: درجة الحرارة الديناميكية للجسم الأسود وتُقاس بوحدة الكلفن.

وعندما يكون الجسم جسمًا ليس أسودًا، فإنّه يمتص إشعاعات أقل وتنبعث منه كمية إشعاعات أقل، لذا يُضرب القانون بنسبة الانبعاثية للجسم وذلك حسب الصيغة الرياضية التالية:

كمية الإشعاع المنبعث لكل وحدة الزمن لكل وحدة مساحة = ثابت بولتزمان × نسبة الانبعاثية × القوة الرابعة لدرجة حرارة الجسم

وبالرموز الإنجليزية:

j* = e × σ × T

حيث أنّ:

• e: نسبة الانبعاثية حيث تتراوح النسبة من (0-1)، وتكون لسطح الجسم الأسود تساوي 1.

ولإيجاد القدرة الكلية المشعة من جسم ما نضرب كمية الإشعاع المنبعث في مساحة سطح الجسم باستخدام العلاقة التالية:

كمية الإشعاع المنبعث = القدرة الكلية المشعة من الجسم / مساحة سطحه

وبالرموز الإنجليزية:

­­j* = P / A

حيث أنّ:

• ­­j*: كمية الإشعاع المنبعث لكل وحدة الزمن لكل وحدة مساحة، ويُقاس بوحدة جول لكل ثانية في المتر المربع (جول/ث.م²) أو واط لكل متر مربع (واط/م²).
• P: القدرة الكلية المشعة من الجسم أو معدل إشعاع الطاقة للجسم وتُقاس بوحدة الواط أو جول/ثانية.
• A: مساحة سطح الجسم وتُقاس بوحدة متر مربع (م²).

مسائل تدريبية على قانون ستيفان بولتزمان

وفيما يأتي مسائل تدريبية على قانون ستيفان بولتزمان:

حساب كمية الإشعاع المنبعث للجسم الأسود

إذا علمتَ أنّ درجة حرارة جسم أسود تساوي 6000 كلفن، فما مقدار الطاقة المنبعثة منه لكل وحدة مربعة؟

الحل:

• نعوض المعطيات في القانون: كمية الإشعاع المنبعث = ثابت بولتزمان × القوة الرابعة لدرجة حرارة الجسم الأسود
• كمية الإشعاع المنبعث = 5.67 × 10 × 6000
• كمية الإشعاع المنبعث = 73,483,200 واط/م²

حساب معدل إشعاع الطاقة للجسم الأسود

جسم أسود مساحة سطحة تساوي 200 م²، ودرجة حرارته 500 كلفن، أوجد معدل إشعاع الطاقة المنبعث من هذا الجسم.

الحل:

• نعوض المعطيات في القانون: ­­j* = σ × T على النحو الآتي:
  • كمية الإشعاع المنبعث = 5.67 × 10 × 500
  • كمية الإشعاع المنبعث = 3543.75 واط/م²
• لإيجاد معدل إشعاع الطاقة المنبعث نستخدم القانون التالي: كمية الإشعاع المنبعث = معدل إشعاع الطاقة المنبعث / مساحة سطحه
  • معدل إشعاع الطاقة المنبعث = كمية الإشعاع المنبعث × مساحة سطحه
  • معدل إشعاع الطاقة المنبعث = 3543.75 × 200
  • معدل إشعاع الطاقة المنبعث = 7.1 × 10 واط

حساب كمية الإشعاع المنبعث لجسم غير أسود

يتم تسخين كرة معدنية إلى درجة حرارة 5273 كيلفن. إذا كانت نسبة انبعاثيتها 0.5، فما مقدار كمية الإشعاع المنبعث من الكرة المعدنية؟

الحل:

• نعوض المعطيات في القانون: كمية الإشعاع المنبعث = الانبعاثية × ثابت بولتزمان × القوة الرابعة لدرجة حرارة الجسم
• كمية الإشعاع المنبعث = 0.5 × 5.67 × 10 × 5273^4
• كمية الإشعاع المنبعث = 2.2 × 10 واط/م²

يصف قانون بولتزمان القدرة المشعة من الجسم الأسود عند درجة حرارة معينة، بحيث تتناسب الطاقة المنبعثة لكل وحدة مساحة تناسبًا طرديًا مع القوة الرابعة لدرجة حرارة الجسم الأسود، ويتميز الجسم الأسود بأنّه يمتص كل الطاقة المنبعثة إليه ولذلك تبلغ نسبة انبعاثيته 1، بينما الأجسام الأخرى التي لا تمتص كل الأشعة تتراوح انبعاثيتها بين 0-1.