قانون حساب حجم المخروط

قانون حساب حجم المخروط

يمكن التعبير عن قانون حجم المخروط وِفقاً لنوعه، وذلك من خلال ما يأتي:

قانون حجم المخروط القائم

يُمكن حساب حجم المخروط القائم من خلال القانون الرياضي الآتي:

حجم المخروط القائم= 1 /3 × مساحة القاعدة × الارتفاع

وبالرموز:

حجم المخروط القائم= 1/ 3× π × نق²× ع

ملاحظة: كُتب القانون بهذا الشكل لأنّ مساحة القاعدة الدائرية = π× نق²

حيث إنّ:

• نق: نصف قطر القاعدة الدائرية.
• ع: ارتفاع المخروط القائم.
• π: ثابت عددي، وقيمته 3.14 أو 22/ 7.

قانون حجم المخروط الناقص

يُمكن التعبير عن حجم المخروط الناقص بالصيغة الآتية:

حجم المخروط الناقص= 1 /3 × (مساحة القاعدة الأولى مساحة القاعدة الثانية الجذر التربيعي لناتج (مساحة القاعدة الأولى × مساحة القاعدة الثانية) × الارتفاع

وبالرموز:

حجم المخروط الناقص= 1 /3 × (م1 م2 √(م1×م2)) ×ع

حيث إنّ:

• م1: مساحة القاعدة الأولى للمخروط.
• م2: مساحة القاعدة الثانية للمخروط.
• ع: المسافة بين مركزي قاعدتي المخروط الناقص.

أمثلة على حساب حجم المخروط

فيما يأتي بعض الأمثلة والطرق لاحتساب أحجام المخروط بأنواعه:

إيجاد حجم مخروط قائم

إذا كان نصف قطر دائرة مخروط قائم 2سم، وارتفاعه 5سم، جد حجم المخروط القائم.

الحل:

• حجم المخروط القائم= 1 /3 × π × نق² × ع
• وبالتعويض بقيمة نصف القطر = 2 سم
• نق = 2 سم
• نق²= 4 سم²
• ع = 5 سم
• بالتعويض بالقانون السابق: حجم المخروط القائم= 1/ 3 × π× نق² ×ع
• حجم المخروط القائم = 1/ 3 × π× 4 × 5
• حجم المخروط القائم= 20.93 سم ³.

إيجاد حجم مخروط ناقص

إذا كانت قاعدتي مخروط ناقص مربعة الشكل، وكانت القاعدة الأولى بطول ضلع 10سم، والقاعدة الثانية بطول ضلع 7سم، وفرق الارتفاع بينهما 12سم، جد حجم المخروط الناقص.

الحل:

• حجم المخروط الناقص= 1 /3 ×(م1 م2 √(م1 ×م2)×ع
• وباعتبار القاعدة الأولى والثانية مربعة الشكل فيمكن حساب مساحتها بحسب قانون حساب مساحة المربع كالآتي:
• مساحة المربع = (طول الضلع)²
• احتساب مساحة القاعدة الأولى: م1 =(10)²= 100سم ².
• احتساب مساحة القاعدة الثانية: م2= (7)²= 49 سم ².
• بالتعويض في قانون حجم المخروط الناقص: حجم المخروط الناقص= 1 /3×(م1 م2 √(م1×م2)×ع
• حجم المخروط الناقص= 1 /3 ×(100 49 √(100×49)×12
• حجم المخروط الناقص= 876 سم ³.

إيجاد ارتفاع مخروط قائم

إذا كان حجم المخروط القائم 66سم ³، وكان قطر قاعدته الدائرية 6سم، جد ارتفاعه.

الحل :

• حجم المخروط القائم= 1 /3 ×π×نق² ×ع
• احتساب نصف قطر الدائرة= القطر/2
• نصف القطر= 6/2 = 3 سم
• نق² =(3)² = 9 سم
• بالتعويض في قانون حجم المخروط القائم: 66 = 1 /3 ×π×9 ×ع
• ارتفاع المخروط القائم= 7سم.

إيجاد الزمن اللازم لملأ مخروط بالكامل

خزان دائري على شكل مخروط دائري قائم نصف قطرة 2م، وارتفاعه 3م، ويتم تعبئته بالماء بمقدار تدفق 10م ³ /ثانية، جد الزمن اللازم لملئ المخروط بالكامل.

الحل:

• حجم المخروط القائم= 1 /3 ×π×نق² ×ع
• قسمة طرفي معادلة حساب حجم المخروط على الزمن، للحصول على الزمن اللازم لملئ الخزان ليصبح القانون كالآتي:
• حجم المخروط القائم/ الزمن= (1 /3× π×نق² ×ع) / الزمن
• وبالتعويض بالمعادلة يصبح كالآتي:
• 10= 1 /3 ×(2)²×π×3 / الزمن
• 10= 1 /3 ×4×π×3 / الزمن
• الزمن اللازم لملئ الخزان بالماء= 0.796 ثانية.