طرق حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الأولى

حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الأولى

تعرف المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى بأنها عبارة عن معادلة تحتوي على متغيرين (س,ص) حيث يكون فيها المشتقة الأولى (دص/ دس) ولا يوجد أي مشتقة أخرى برتبة أعلى منها في المعادلة، أما الشكل العام للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الأولى هو:دص/ دس ص×ط(س) = ق(س)؛ حيث أن ط(س), ق(س) هي دوال رياضية للمتغير س. وفي حالة إيجاد الحل للمعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الأولى يتم اللجوء إلى استخدام إحدى هاتين طريقتين وهما: الأولى هي استخدام العامل المكامل، أما الثانية فهي استخدام ثابت التباين؛ حيث سيتم شرح كل من الطريقتين بشكل مفصل فيما يلي:

باستخدام العامل المكامل (integrating factor)

يتم استخدام هذه الطريقة في حالة كتابة المعادلة على الشكل العام لها؛ حيث يتم حلها بما يسمى العامل المكامل ك(س) والذي تكتب صيغته على شكل:

ك(س) = ه ـ‍ ^ ( ∫ (ط(س) دس))، حيث أن هـ‍ هو العدد النيبيري والذي يساوي تقريباً 2.72.

وينتج منه الحل العام للمعادلة باستخدام العامل المكامل وهو:

ص = ( ∫ ( ك(س)×ق(س)×دس ج) / ك(س)

مثال: أوجد حل هذه المعادلة دص/دس - ص - س×هـ‍^س = 0، باستخدام العامل المكامل.

الحل:

1. نعيد كتابة المعادلة على الصورة العامة لها: دص/دس - ص = س× هـ‍ ^س
2. نقوم بإيجاد العامل المكامل لها، حيث يكون ط(س) = -1؛ أي معامل ص.
   1. ك(س) = هـ‍ ^ ( ∫ (ط(س)× دس))
   2. ك(س) = هـ‍ ^ ( ∫ (-1× دس))
   3. ك(س) = هـ‍ ^(- س)
3. باستخدام الحل العام تصبح:
   1. ص = ( ∫ ( ك(س)×ق(س)×دس ج) / ك(س)؛ حيث أن ق(س) = س× هـ‍ ^س
   2. ص = ( ∫ ( هـ‍ ^(- س)× س× هـ‍ ^س ج) / هـ‍ ^(- س)
   3. ص= ( ∫ (س×دس ج )) / هـ‍ ^(- س)
   4. ص = هـ‍ ^( س)× (( س^2/ 2 ج))

باستخدام ثابت التباين (variation of constant)

في هذه الطريقة يتم كتابة المعادلة على الصورة العامة للمعادلات التفاضلية المتجانسة والتي هي:

دص/ دس ص×ط(س) = 0

حيث أن حل هذه المعادلة يتطلب إيجاد التكامل في خطوة من الخطوات والتي من خلالها نحصل على ثابت التكامل ج، فهذه الطريقة تقوم بتحويل ثابت التكامل إلى متغير غير معروفة قيمته ج(س) والذي يتم استبداله في المعادلة التفاضلية غير المتجانسة المعطاة في السؤال للوصول إلى الحل؛ هذا المثال التالي يشرح طريقة عمل طريقة ثابت التباين:

مثال: أوجد حل المعادلة التالية س×دص/دس = ص 2×س^(3)، باستخدام طريقة ثابت التكامل.

الحل:

1. اكتب المعادلة المعطاة على صيغة معادلة تفاضلية متجانسة: دص/ دس ص×ط(س) = 0
2. حل المعادلة عن طريق إيجاد قيمة ص؛ من خلال فصل المتغيرات.
3. دص/ ص = دس/ س؛ وبتكامل الطرفين ينتج:
   1. لو هـ‍ (ص) = لوهـ‍ (س) لوهـ‍ (ج)
   2. ص = س×ج
4. استبدل ج بدالة ج(س) لإيجاد حل المعادلة التفاضلية غير المتجانسة:
   1. ص = س×ج
   2. دص/ دس = جَ ًََ ً(س) ×س ج(س)
   3. س× (جَ(س)×س ج(س)) = ج(س)×س 2×س^(3)؛ تم استبدال (دص/ دس) و(ص) من المعادلة الأصلية المعطاة بالسؤال.
5. جَ(س) = 2س؛ وبتكامل الطرفين ينتج: ج(س) = س^2 ج1
6. وبذلك يكون الحل العام للمعادلة هو:
   1. ص = ج(س)×س
   2. ص = ( س^2 ج1)×س
   3. ص = س^3 س×ج1