كيفية شرح الكسور المتساوية
الكسر في الرياضيات يتضمن البسط وهو الرقم الموجود أعلى إشارة القسمة، ويتضمن المقام وهو الرقم الموجود أسفل إشارة القسمة، مثل: (1/2)، حيث يمثل الرقم 1 البسط، بينما يمثل الرقم 2 المقام لهذا الكسر، أمَّا الكسور المتساوية هي عملية تكوين نفس قيمة الكسر الموجود باستخدام عمليتي الضرب والقسمة، لذا يمكن إيجاد عدد كبير من الكسور المساوية لنفس قيمة الكسر المطلوب.
تعريف الكسور المتساوية بالرسم
من الطرق الممتعة لتعليم الأطفال مفهوم الكسور، والكسور المتساوية هي الرسم باستخدام الدوائر مثلًا، أو المستطيلات، أو المثلثات أو غيرها من الأشكال الهندسيَّة، إضافةً إلى تلوينها بألوان متنوعة للفت انتباه الطفل، وتعليمه بأسلوب جذَّاب سواء من قِبَل الأم أو الأب في المنزل، وكذلك المعلّم في المدرسة، وفيما يأتي بعض النقاط الرئيسيَّة لاستخدام الرسم في فهم الكسور المتساوية:
الكسرين (2/3 و 4/6) متساويين ويمكن تمثيلهما بالرسم باستخدام أي شكل مثلًا المستطيل وتلوينهما كما يرغب الطفل.
الشكل الأول يمثل الكسر (2/3):
- رسم العدد الكلي للمستطيلات والذي يمثل المقام وهو الرقم 3.
- تلوين العدد الذي يمثل البسط وهو الرقم 2.
الشكل الثاني يمثل الكسر المكافئ (4/6):
- رسم 6 مستطيلات والتي تمثل العدد الموجود في المقام.
- تلوين الرقم الموجود في البسط وهو الرقم 4، ليصبح الشكل 4 مستطيلات ملونة من أصل 6 مستطيلات كلية.
- وبالتالي الكسر (2/3) يساوي الكسر (4/6) أي أن لهما نفس القيمة:
شرح الكسور المتساوية بالرسم
يكون الكسر متساوي عندما نجد نفس قيمته مع اختلاف البسط والمقام، والخطوات الآتية توضِّح عملية تساوي الكسور باستخدام الرسم وتوضيحها من خلال عملية الضرب:
المثال الأول:
- يتكون الشكل من مستطيل واحد.
- تقسيم المستطيل إلى نصفين كما في الشكل، وتلوين القسم الثاني باللون الأخضر.
- في الشكل الثاني يجب حساب العدد الكلي للمستطيلات وعددها 2 وهذا يمثل المقام، أمَّا البسط يمثل عدد الجزء الملون أو المظلل فقط وهو العدد 1، إذًا يصبح الكسر لهذا الشكل هو 1/2.
- الكسر 1/2 مكتوب بأبسط صورة بحيث لا يمكن تصغيره أكثر ممَّا هو عليه، لذا يتم ضرب الكسر برقم معين مثلًا الرقم 2 ليصبح البسط 1×2 يساوي 2 ويصبح المقام 2×2 يساوي 4.
- الكسر الجديد 2/4 وهو الكسر المساوي للكسر 1/2 أي أنَّ له نفس القيمة ويمكن تمثيله برسم 4 مستطيلات تمثل المقام وتلوين مستطيلين يمثلان البسط.
المثال الثاني:
ايجاد كسر آخر مساوي للكسر 1/2 وذلك بضربه برقم أخر مثلّا الرقم 3:
- تمثيل الكسر 1/2 بالرسم عن طريق رسم مستطيلين ثم تلوين واحد منهما بلون معين والذي يمثل البسط.
- ضرب البسط بالرقم 3 كالآتي: (3×1) يساوي 3 وكذلك يجب ضرب المقام بنفس الرقم ليصبح (3×2) ليصبح المقام الجديد يساوي 6.
- رسم العدد الكلي للمستطيلات والذي يمثل الرقم في المقام بعد عملية الضرب وهو الرقم 6.
- تلوين الرقم الذي يمثل البسط بعد عملية الضرب وهو الرقم 3.
- يمكن قراءة الكسر الجديد من الرسمة أعلاه 3 مستطيلات ملونة من أصل 6 مستطيلات كاملة ويكتب (3/6) وهو نفس قيمة الكسر (1/2) ولكن بأبسط صورة له.
شرح الكسور المتساوية بالأرقام
يتم تمييز إذا كانت الكسور متساوية أم لا بعدّة تقنيات رياضيَّة بسيطة كما يأتي:
طريقة القاسم المشترك الأصغر
- يمكن تحديد تساوي الكسرين من خلال معرفة القاسم المشترك الأصغر لكلا مقامي الكسرين، وذلك بمساواة كلا الكسرين تمامًا مثلًا: القاسم المشترك الأصغر للكسرين (2/3) (4/6) هو العدد 12، أي أنَّه العدد المشترك الأول الموجود في جدول الضرب للعدد 3 والعدد 6 وهما مقامي الكسرين.
- ضرب الكسر 2/3 في 4 ليصبح المقام 12=4×3 وضرب البسط في نفس العدد 8=4×2 وعليه يكون الكسر الجديد 8/12.
- ضرب الكسر 4/6 في 2 ليصبح المقام 12=6×2 وضرب البسط في 2 ليصبح 8=2×4 وعليه يكون الكسر الجديد 8/12.
- ملاحظة أنَّ كلا الكسرين 8/12 متساويان تمامًا في البسط والمقام.
طريقة الضرب المتبادل أو المتقاطع
يتم تمييز تساوي الكسرين بتطبيق الضرب المتبادل بينهما، وذلك بضرب بسط الكسر الأول بمقام الكسر الثاني، وضرب بسط الكسر الثاني بمقام الكسر الأول والمثال الآتي يوضح طريقة التأكد من تساوي الكسرين (2/3) (4/6):
- ضرب بسط الكسر2/3 في مقام الكسر 4/6 ويصبح 12=6×2 .
- ضرب بسط الكسر 4/6 في مقام الكسر2/3 ويصبح 12=4×3.
- الحصول على نفس النتيجة تعني أنَّ الكسرين متساويين.
الصيغة العشرية للكسر
من خلال إيجاد النتيجة العشريَّة للكسر يمكن معرفة ما إذا كان الكسران متساويان أم لا، والمثال الآتي يوضح ذلك:
عند قسمة البسط على المقام في الكسر (1/2) تكون النتيجة 0.5 وفي الكسر (2/4) تكون النتيجة أيضًا 0.5 ممَّا يعني أنَّ الكسرين متساويان.
يُعدُّ إيجاد الكسور المتساوية من المسائل الرياضيَّة الممتعة والبسيطة خاصَّة عند استخدام الرسم بالأشكال الهندسيَّة المختلفة، ولكنَّها تتطلب حفظ جدول الضرب بشكل جيد لأنَّ تكوين الكسور المتساوية والتحقق منها يعتمد بشكل كلي على عمليتي القسمة والضرب للحصول على مضاعفات الكسر أو تبسيطه لأبسط صورة.
أمثلة متنوعة على الكسور المتساوية
الأمثلة على الكسور المتساوية كثيرة ومتنوعة سواء باستخدام الرسم أو الأرقام وفيما يأتي بعض من هذه الأمثلة:
أيجاد الكسر المساوي للكسر (1/4) باستخدام الرسم.
الحل:
- الكسر (1/4) مكتوب بأبسط صورة لذا يجب أن نضرب الكسر بنفس الرقم وهو من مضاعفات البسط والمقام.
- ضرب البسط بالرقم 2 ليصبح 2=2×1.
- ضرب المقام بالرقم 8=4×2.
- يصبح الكسر الجديد 2/8 وهو الكسر المساوي للكسر 1/4 أي أنَّ له نفس القيمة.
- بعد تكوين الكسر الجديد يتم رسم 8 مستطيلات، وتظليل مستطيلين.
إيجاد الكسر المساوي للكسر (3/6) باستخدام الرسم.
الحل:
- تمثيل الكسر (3/6) برسم 6 مستطيلات وتلوين ثلاث منهم.
- يمكن تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على الرقم المشترك بينهما وهو الرقم 3.
- يصبح البسط بعد إجراء القسمة 1=3÷3، والمقام 2=3÷6.
- الكسر الجديد 1/2 وهو بنفس قيمة الكسر 3/6.
- تمثيل الكسر 1/2 برسم مستطيلين وتلوين احدهما.
إيجاد الكسر المساوي للكسر(2/4)
الحل:
- الكسر 2/4 ليس بأبسط صورة لذا يمكن تبسيطه بقسمة الكسر على العدد 2.
- يصبح البسط 1=2÷2 ويصبح المقام 2=2÷4.
- الكسر 1/2 بنفس قيمة الكسر 2/4 وهي 0.5 ممَّا يعني أنَّ الكسرين متساويان.
إيجاد الكسر المساوي للكسر (6/9)
الحل:
- ضرب البسط والمقام في نفس الرقم ويمكن اختيار أي رقم صحيح مثلًا الرقم 2.
- يُصبح البسط بعد إجراء عملية الضرب 12=2×6.
- يصبح المقام بعد إجراء عملية الضرب 18=2×9.
- الكسر الجديد 12/18 وهو بنفس قيمة الكسر 6/9 ممَّا يعني أنَّهما متساويان.
إيجاد الكسر المساوي للكسر (4/20)
الحل:
- قسمة البسط والمقام على نفس العدد وهو 4
- يصبح البسط 4÷4 يساوي 1
- يصبح المقام 4÷20 يساوي 5
- الكسر الجديد 1/5 مساوي للكسر 4/20 في القمية.
إيجاد الكسر المساوي للكسر (9/18)
الحل:
- يمكن إجراء عملية القسمة على الكسر باستخدام العامل المشترك الأصغر وهو الرقم 9.
- قسمة البسط على 9 ليصبح 1=9÷9.
- قسمة المقام على 9 ليصبح 2=9÷18.
- الكسران (1/2) و(9/18) لهما نفس القيمة وهي 0.5 ممَّا يعني أنَّهما متساويان.
إيجاد الكسر المساوي للكسر (5/7)
الحل:
- ضرب البسط والمقام في أي رقم مثلًا الرقم 5.
- يُصبح البسط بعد إجراء عملية الضرب 25=5×5.
- يُصبح المقام بعد إجراء عملية الضرب 35=5×7.
- الكسر الجديد 25/35 مساوي لقيمة الكسر 5/7 وهي قرابة 0.7143.
إيجاد الكسر المساوي للكسر (8/24)
الحل:
- قسمة البسط والمقام على العدد 8 ليصبح البسط 1=8÷8 ويصبح المقام 3=8÷24
- الكسر الجديد 1/3مساوي لقيمة الكسر 8/24 وهي 0.3
أكمل ما يأتي:
الكسر المساوي للكسر (7/14) هو _______
الحل:
- قسمة البسط والمقام على الرقم 7 لتبسيطه لأبسط صورة.
- قسمة البسط على 7 ليصبح 1=7÷7.
- قسمة المقام على 7 ليصبح 2=7÷14.
- الكسر الجديد 1/2 مساوي للكسر 7/14 ولهما نفس القيمة وهي 0.5.
الكسر المساوي للكسر (7/14) باستخدام عملية الضرب هو ______
الحل:
- ضرب كلًا من المقام والبسط بنفس الرقم ويمكن اختيار أي رقم مثلًا الرقم 3.
- ضرب البسط بالرقم 3 ليصبح 21=3×7.
- ضرب المقام بالرقم 3 ليصبح 42=3×14.
- يصبح الكسر الجديد (21/42) وهو مساوي للكسر (7/14) وقيمة كلاهما 0.5.
الكسر المساوي للكسر (10/100) هو _____
الحل:
- تبسيط الكسر (10/100) بقسمة البسط والمقام على العدد 10.
- قسمة البسط على 10 ليصبح 1=10÷10.
- قسمة المقام على 10 ليصبح 10=10÷100.
- الكسر الجديد 1/10 وهو مساوي للكسر 10/100 ولهما نفس القيمة وهي 0.1.
الكسر المساوي للكسر (1/9) هو _____
الحل:
- الكسر 1/9 مكتوب بأبسط صورة لذا يتم استخدام عملية الضرب.
- ضرب البسط بأي عدد مثلًا 2 يصبح البسط 1×2 يساوي 2
- ضرب المقام بالعدد 2 يصبح المقام 2×9 يساوي 18
- الكسر 2/18 مساوي للكسر الأصلي 1/9 أي أن لهما نفس القيمة.
يُعتبر إيجاد الكسور المتساوية لكسر معين عملية رياضيَّة لا نهائيَّة، إذ يمكن تكوين الكثير من الكسور المكافئة لنفس قيمة الكسر، وذلك بتبسيط الكسر من خلال عملية القسمة على العامل المشترك الأصغر إذا كان بينهما عامل مشترك، أو ضرب الكسر في أي عدد صحيح على خط الأعداد مهما كان الكسر، وللتأكد من صحة تساوي الكسرين يتم قسمة البسط على المقام وعندها يجب تساوي القيمتين للكسرين.
