خصائص الدائرة

خصائص الدائرة

يُمكن تعريف الدائرة (بالإنجليزية: Sphere) على أنّها الشكل الهندسي الناتج من مجموعة من النقاط التي تقع على مسافة ثابتة من نقطة معينة ثابتة تُعرف عادة باسم مركز الدائرة، وللدائرة نصف قطر يُمكن تعريفه على أنّه المسافة من مركز الدائرة إلى أيّة نقطة على محيطها ويُرمز له بالرمز (نق).

أمّا قطر الدائرة فهو الخط الواصل بين نقطتين على محيط الدائرة بشرط مروره من المركز، وهو أطول وتر في الدائرة ويُرمز به بالرمز (ق)، والقطر ونصف القطر مترابطان حيث إنّ القطر يعادل ضعف نصف القطر تماماً، ق=2 نق.

خصائص الخطوط المتعلقة بالدائرة

من أشهر الخطوط المتعلقة بالدائرة وخصائصها ما يأتي:

• الوتر:

(بالإنجليزية: Chord) هو القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتين على حدود الدائرة، ويقسم الخط العمودي الساقط من مركز الدائرة الوتر إلى نصفين متساويين، ومن أهمّ خصائص الوتر أيضاً في الدائرة ما يأتي:

• أقواس الدائرة تتساوى إذا تساوت قياسات أوتارها ؛ فمثلاً إذا كان أ ب، جـ د أوتار في دائرة ما، وكان أ ب = جـ د، فإن: القوس أ ب = القوس جـ د

• عند توازي الأوتار فإن الأقواس المحصورة بينهما تكون متساوية؛ فمثلاً إذا كان أ ب يوازي جـ د، إذن: القوس أ د = القوس ب جـ.

• عند تقاطع وترين أ ب ، جـ د عند النقطة (و) فإنّ ناتج ضرب أجزاء الوتر الأول يساوي ناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني ببعضها؛ أي: أو×وب=جـ و×ود.

• الأوتار ذات الأطوال المتساوية تبعد نفس المسافة عن المركز.

• كلما زاد طول الوتر أصبح أقرب لمركز الدائرة.

• الأوتار ذات الطول المتساوي تقابل زوايا مركزية مُتساوية أيضاً، وفي المقابل الزوايا المركزية المتساوية تقابلها أوتار متساوية أيضاً.

• المماس:

(بالإنجليزية: Tangent)، وهو الخط المستقيم الذي يمس سطح الدائرة بنقطة واحدة فقط، ومن خصائص مماس الدائرة ما يأتي:

• المماس لا يقطع الدائرة.

• نقطة التماس على سطح الدائرة هي نقطة متعامدة مع نصف قطر الدائرة.

• أي مماسين مرسومين من نفس النقطة خارج الدائرة يكونان متساويان في الطول.

• الزاوية الواقعة بين المماس والوتر تساوي الزاوية المحيطية للجانب المقابل لذلك الوتر.

خصائص الزوايا المتعلقة بالدائرة

فيما يأتي أهم الخصائص المتعلقة بالدائرة:

• الزاوية المحيطيّة

(بالإنجليزية: Inscribed Angle) هي الزاوية التي تتشكّل من التقاء وترين على محيط الدائرة، ومن خصائصها:

• تتساوى الزوايا المرسومة على نفس القوس في قياسها.

• الزاوية المحيطية لنصف الدائرة تساوي 90° في قياسها.

• الزوايا المحيطيّة المقابلة لنفس الوتر وعلى جهتين متقابلتين منه يكون مجموعهما مُساوياً لـِ 180°.

• كلما زاد قياس الزاوية المحيطيّة كان طول القوس المقابل لها أكبر.

• تتساوى الزوايا المقابلة لنفس القوس في قياسها.

• الزاوية المركزية

(بالإنجليزية: Central Angle)، هي الزاوية التي يكون رأسها على مركز الدائرة، ويكون نهاية كلّ من أضلاعها على محيط الدائرة، ومن خصائصها:

• قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس.

• تتساوى الأقواس التي تُكوّن زوايا مركزية مُتساوية.

• كلما زاد قياس الزاوية المركزيّة كان طول القوس المقابل لها أكبر.

• إذا كانت الزاوية المركزية= 180°=π، فإن القوس المتشكّل بهذه الزاوية يمثّل نصف محيط الدائرة.

• إذا كانت الزاوية المركزية= 360°=2π، فإن القوس المتشكّل بهذه الزاوية يمثّل محيط الدائرة كاملاً.

• تتساوى الزوايا المقابلة لنفس القوس في قياسها.

خصائص عامة للدائرة

من الخصائص العامّة للدائرة ما يأتي:

• تتطابق الدوائر إذا كان نصف قطرها مُتساوٍ.

• قطر الدائرة هو أطول وتر في الدائرة.

• تقل المسافة العمودية بين مركز الدائرة والوتر كلما زاد طول الوتر.

• عند رسم مماسيّن عند نهايتيّ قطر الدائرة فإنّهما مُتوازيان.

• المُثلث الذي يتشكّل من نصفيّ قطر الدائرة، والوتر الواصل بين طرفيهما يكون مُثلثاً مُتساوي الساقين .

• إذا قُسم المُحيط لأيّ دائرة على قطرها فإنّ الناتج يكون دائماً قيمة ثابتة تُدعى باي (بالإنجليزية: pi)، وتساوي تقريباً 3.142.

أمثلة على خصائص الدائرة

فيما يأتي بعض الأمثلة التطبيقية على خصاص الدائرة:

• المثال الأول:

تقاطع وتران أب، جـ د عند النقطة (و)، حيثُ يُقسّم كل منهما الآخر إلى جُزئين، وفي الوتر الأول كان طول أو= 4 وحدات، وطول وب= 6 وحدات، بينما في الوتر الثاني كان طول جـ و=3 وحدات، فجد طول ود؟

الحل:

• من خاصيّة تقاطع الأوتار ينتج أنّ: ناتج ضرب أجزاء الوتر الأول يساوي ناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني ببعضها؛ أي أن: ود×3=4×6، وبقسمة الطرفين على 3 ينتج أنّ: ود=8 وحدات.

• المثال الثاني:

دائرة مركزها م فيها المماس دأ يمُسّ الدائرة في النقطة أ ويلتقي مع الوتر أب في النقطة أ، فإذا كان قياس الزاوية ب أ د= 50°، فما قياس الزاوية أ م ب؟

الحل:

• وفق الخاصية: عند التقاء المماس دأ الذي يمُسّ الدائرة في النقطة أ مع الوتر أب فإنّ الزاوية المحصورة بينهما تساوي الزاوية المُحيطيّة أجـ ب المقابلة للوتر أب، وعليه فإن قياس الزاوية المحيطية المقابلة للوتر أب=50°.
• وفق الخاصية: قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس؛ فإن الزاوية المركزية أ م ب المقابلة للوتر (أب)= 2×الزاوية المحيطية المرسومة على الوتر (أب)، لينتج أن: الزاوية (أ م ب)= 2×50°= 100°.

• المثال الثالث:

زاوية محيطيّة وزاوية مركزيّة تقابلان نفس القوس، فإذا كان قياس الزاوية المحيطيّة= 62°، فما قياس الزاوية المركزيّة؟

الحل:

• بما أنّ قياس الزاوية المركزيّة = ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس ينتج أنّ: الزاوية المركزيّة =2×62°= 124°.

• المثال الرابع:

دائرة مركزها النقطة م، فيها الوتران أب، أجـ، وقياس الزاوية أ م ب= 90°، وقياس الزاوية أم جـ= 110°، فما قياس الزاوية ب أ جـ؟

الحل:

• بما أنّ الزاوية أ م ب الزاوية أ م جـ الزاوية جـ م ب= 360°، ينتج أن 90° 110° الزاوية جـ م ب= 360°، ومنه الزاوية جـ م ب= 160°.
• وبما أنّ الزاوية جـ م ب= 2×الزاوية ب أ جـ، وفق الخاصية قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس؛ لينتج أن 160°=2× الزاوية ب أ جـ، وبقسمة الطرفين على 2 ينتج أنّ: الزاوية ب أ جـ= 80°.

• المثال الخامس:

دائرة مركزها النقطة م، فيها الوتران أب، أجـ، وقياس الزاوية ب أ جـ = 50°، فما قياس الزاوية م ب جـ؟

الحل:

• الزاوية ب م جـ = 2× الزاوية ب أ جـ، وفق الخاصية قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس؛ لينتج منه أن الزاوية ب م جـ = 2×50°= 100°.
• في المثلث المتساوي الساقين م ب جـ ، م ب = م جـ؛ لأنهما يمثلان أنصاف أقطار في الدائرة، وعليه فإنّ الزاوية م ب جـ = الزاوية م جـ ب.
• وبما أنّ مجموع زوايا المثلث يساوي 180°، ينتج أنّ: م ب جـ الزاوية م جـ ب الزاوية ب م ج =180°، ومنه: م ب جـ الزاوية م جـ ب 100°= 180°، وعليه فإنّ: م ب جـ الزاوية م جـ ب=80°، بالتالي: 2× الزاوية م ب جـ = 80°، ومنه الزاوية م ب جـ = 40°.

• المثال السادس:

دائرة مركزها و، فيها الأوتار: أب، ب جـ، والنقطة د ناتجة عن تقاطع نصف القطر و جـ مع الوتر أ ب وهو عمودي عليه، والزاوية و أ ب =20°، الزاوية و جـ ب = 55°، فما قياس الزاوية ب و جـ والزاوية أ و جـ؟

الحل:

• نفرض أنّ الزاوية ب و جـ = س، والزاوية أ و جـ = ص
• الزاوية و ب أ = الزاوية و أ ب = 20°؛ لأنّهما تمثلان زوايا القاعدة للمثلث متساوي الساقين (أوب).
• من المثلث و أ د، والمثلث و ب د، و أ = وب لأنهما أنصاف أقطار في الدائرة، ود = ود لأنه ضلع مُشترك بين المثلثين، الزاوية و ب أ = الزاوية و أ ب = 20°، والزاوية ودب=الزاوية ودأ؛ لأن نصف القطر عمودي على الوتر أب، ومنه المثلث و أ د يطابق المثلث و ب د، ومنه ينتج أنّ: س = ص.
• في المثلث و د أ يكون مجموع الزاوية أ و د الزاوية و أ د الزاوية و د أ = 180°، ومنه: ص 90° 20°= 180°، بالتالي: ص = 70°، ومنه: س = ص = 70°.

• المثال السابع:

تقاطع وتران أب، جـ د عند النقطة (و)، حيثُ يُقسّم كل منهما الآخر إلى جُزئين، وفي الوتر الأول كان طول أو= (س 4) وحدات، وطول وب= 10 وحدات، بينما في الوتر الثاني كان طول جـ و=(س 1) وحدات، وطول ود=15 وحدة؟

الحل:

• من خاصيّة تقاطع الأوتار ينتج أنّ: ناتج ضرب أجزاء الوتر الأول يساوي ناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني ببعضها؛ أي أن: 10×(س 4)=(15)×(س 1)، وبتبسيط المعادلة ينتج أن: 10س 40=15س 15، 5س=25، وبقسمة الطرفين على 5 ينتج أنّ: س=5 وحدات.

• المثال الثامن:

دائرة مركزها م فيها المماس دأ يمُسّ الدائرة في النقطة أ ويلتقي مع الوتر أب في النقطة أ، فإذا كان قياس الزاوية ب أ د= 40°، والزاوية ب أ جـ= 65°، علماً أن جـ نقطة تقع على محيط الدائرة، في الجهة المقابلة للوتر أب، فما قياس الزاوية أ ب جـ؟

الحل:

• وفق الخاصية: عند التقاء المماس دأ الذي يمُسّ الدائرة في النقطة أ مع الوتر أب فإنّ الزاوية المحصورة بينهما تساوي الزاوية المُحيطيّة أجـ ب المقابلة للوتر أب، وعليه فإن قياس الزاوية المحيطية المقابلة للوتر أب، وهي (أجـ ب)=40°.
• في المثلث أب جـ الزاوية ب أ جـ معلومة وتساوي 65°، والزاوية أجـ ب تساوي 40°، وبما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180°؛ فإن الزاوية أب جـ=180-65-40=75°.

• المثال التاسع:

إذا كان هناك دائرة بمركزها م، لديها تماس ع ل بالنقطة ع، وأن الزاوية م ل ط = 120 درجة، حيث ط نقطة تقع على امتداد خط التماس ع ل، جد قياس الزاوية ل م ع ؟

الحل:

• من خصائص مماس الدائرة، أن تقاطعه مع نصف قطر الدائرة يشكل زاوية 90 درجة أي تشكل مثلث قائم الزاوية لذا يُمكن استخدام خصائص الزوايا في مثلث قائم الزاوية لإيجاد قيمة الزاوية ع م ل.
• الزاوية م ل ط زاوية خارجية تقع على خط مستقيم، وتعتبر الزاوية م ل ع متممة لها، أي أنّ:
• الزاوية م ل ط الزاوية م ل ع = 180
• 120 الزاوية م ل ع = 180
• الزاوية م ل ع أحد زوايا المثلث قائم الزاوية = 60
• مجموع زوايا المثلث م ع ل القائم في ع يساوي 180، أي:
• الزاوية م ل ع الزاوية م ع ل الزاوية ل م ع = 180
• 60 90 الزاوية ل م ع = 180
• الزاوية ل م ع = 180 - 60 - 90
• إذًا الزاوية ل م ع = 30

• المثال العاشر:

إذا كان م مركز الدائرة، ولديها مماس ع ل بنقطة التماس ع، علمًا بأن ل نقطة خارجية عن الدائرة، ولديها مماس آخر ل ط من نفس النقطة ل في نقطة التماس ط، وكان طول المماس ع ل = 8 سم، وطول نصف قطر الدائرة م ع 6 سم، فكم طول الخط م ل؟

الحل:

• من خصائص المماسات في الدائرة تساوي أطول المماسات المرسومة من نفس النقطة من خارج الدائرة ع ل = ط ل = 8 سم.
• وبما أن الزاوية قائمة في نقطة التماس ع و ط، فتشكل مثلث قائم الزاوية، فيه طول م ع = 6 سم، وطول ع ل = 8 سم.
• تطبيق قاعدة فيثاغورس لأطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية (ل م) = (م ع) (ع ل)
• (ل م) = ( 6) (8)
• (ل م) = (36 64 )
• إذًا طول ل م = 10 سم.

• المثال الحادي عشر:

إذا كان مركز الدائرة م، ولديها مماس ع ل بنقطة التماس ع، علمًا بأن ل نقطة خارجية عن الدائرة وطول ع ل = 8سنتميتر، وطول م ع= 6 سنتميتر، وكان وتر الدائرة ج د يلتقي بخط يصل بينه وبين مركز الدائرة م هـ = 3 سم وينصفه، ما هو محيط الشكل م ل ع هـ المتشكل؟

الحل:

• من خصائص مماس الدائرة تشكل زاوية قائمة في نقطة التماس ع، والمثلث القائم الزاوية م ع ل.
• بتطبيق قاعدة فيثاغورس لإيجاد أطوال المثلث قائم الزاوية (م ل) = (ل ع) ( م ع)
• (م ل) = 8 6
• م ل = 10 سم
• ومن خصائص الدائرة بأن الخط الواصل من المركز إلى الوتر ينصفها ويشكل زاوية قائمة، فإنّ المثلث م هـ ع قائم الزاوية في هـ.
• بتطبيق قاعدة فيثاغورس لإيجاد أطوال المثلث قائم الزاوية (م ع) = (م هـ) ( هـ ع)
• 6 = 3 هـ ع
• هـ ع = 5.2 سم.
• بمعرفة أطوال الشكل م ل ع هـ، حيث؛ م ل = 10سم، هـ ع = 5.2 سم، ل ع= 8 سم، م هـ =3 سم، فإن محيط أي شكل هندسي يساوي مجموع أطوال أضلاعه.
• محيط الشكل م ل ع هـ = م ل هـ ع ل ع م هـ
• محيط الشكل م ل ع هـ = 10 5.2 8 3
• محيط الشكل م ل ع هـ = 26.2 سم.

• المثال الثاني عشر:

إذا كان م مركز الدائرة، ولديها مماسين من نقطة خارج الدائرة ل، الأول ع ل= 8 سم، والثاني ط ل، إذا علمت أن الزاوية م ع ط = 30، جد قياس الزاوية م ل ط؟

الحل:

• من خصائص المماس في الدائرة أن يشكل زاوية قائمة في نقطة التماس ع والأخرى ط.
• إذًا الزاوية م ع ل قائمة، وعليه: الزاوية م ع ط الزاوية ل ع ط = 90
• 30 الزاوية ل ع ط = 90
• الزاوية ل ع ط= 60.
• ومن خصائص المماس للدائرة تساوي أطوال المماسين اللذين يلتقيان في نقطة واحدة خارجة الدائرة، ط ل = ع ل ، فيكن المثلث ط ل ع متساوي الساقين.
• بما أن المثلث متساوي الساقين أي أن الزاوية ل ع ط = الزاوية ل ط ع = 60.
• مجموع زوايا المثلث = 180، وعليه؛ الزاوية ل ع ط الزاوية ل ط ع الزاوية ط ل ع = 180
• 60 60 الزاوية ط ل ع = 180
• الزاوية ط ل ع = 60
• ومن خصائص الدائرة، أنّ الخط الواصل بين مركز الدائرة والنقطة الخارجة من الدائرة والمشكّلة للمماسين تُنصّف الزاوية المحصورة بين المماسين، وعليه فإنّ:
• الزاوية م ل ط = 60 / 2
• الزاوية م ل ط =30.