خصائص الأعداد المركبة

خصائص الأعداد المركبة

ما هي خصائص الأعداد المركبة؟

من خصائص الأعداد المركبة ما يأتي:

  • إذا كانت أ،ب أعداداً حقيقية، وكان أ i.ب = 0؛ فإنّ أ=0، ب=0.
  • إذا كانت أ،ب،ج،د أعداداً حقيقية، وكان أ i.ب = ج i د؛ فإنّ: أ=ج، ب=د.
  • إذا كانت ع1، ع2، ع3 أعداداً مركبة؛ فإنّها تحقق الخاصيّة التبادلية وخاصيتي التوزيع والتجميع كما يأتي:
    • ع1 ع2 = ع2 ع1 (الخاصيّة التبادلية للجمع).
    • ع1×ع2 = ع2×ع1 (الخاصيّة التبادلية للضرب).
    • 1 ع2) ع3 = (ع2 ع3) ع1 (الخاصيّة التجميعية للجمع).
    • 1×ع2)×ع3 = (ع2×ع3)×ع1 (الخاصيّة التجميعية للضرب).
    • ع1×(ع2 ع3) = ع1×ع2 ع1×ع3. (خاصيّة توزيع الضرب على الجمع).
  • الناتج من جمع عدد مركب مع مرافقه (بالإنجليزية: Conjugate) هو عدد حقيقي، فإذا كان (أ i.ب) عدداً مركباً وكان مرافقه (أ- i.ب)، فإن نتيجه جمعهما معاً هي: (أ i.ب) (أ- i.ب) = 2.أ؛ حيث أ: عدد حقيقي.
  • ناتج ضرب عدد مركب بمرافقه هو عدد حقيقي، فإذا كان (أ i.ب) عدداً مركباً وكان مرافقه (أ- i.ب)، فإن نتيجة ضربهما هي: (أ i.ب)×(أ- i.ب) = أ²-أ.بi² أ.بi²-ب².i² = أ²-ب²i.²، وبما أنّ: i²=-1 فإنّ ناتج الضرب هو: أ² ب² وكلاهما عددان حقيقيان.
  • إذا كان ناتج جمع وضرب العددين المركبين هو عدد حقيقي؛ فالعددان مرافقان لبعضهما.
  • إذا كان: ع1، ع2 عددين مركبين؛ فإنّ القيمة المطلقة لناتج جمعهما تكون أقل أو مساوية للقيمة المطلقة للعدد ع1 عند جمعها مع القيمة المطلقة للعدد ع2، أي أنّ: |ع1 ع2| ≤ |ع1| |ع2|.
  • ناتج جمع أو طرح أو ضرب أي عددين مركبين هو عدد مركب.
  • عند جمع 0 إلى عدد مركب ينتج نفس العدد؛ أي أنّ: (أ i.ب) 0= (أ i.ب).
  • عند جمع عدد مركب مع معكوسه ينتج العدد 0: ع (-ع)= (أ i.ب) - ((أ i.ب))= أ i.ب-أ-i.ب)=0.
  • عند ضرب 1 بعدد مركب ينتج نفس العدد: 1×(أ i.ب)=(أ i.ب).
  • عند ضرب العدد المركب (ع) بـ (1/ع)، ينتج العدد 1؛ أي ع×1/ع = 1.
  • لا يُمكن لعدد حقيقي أن يتساوى مع عدد تخيلي، ويُمكن إثبات ذلك كما يأتي:
    • نفترض أن أ،ب عددان حقيقيان لا يساويان الصفر، وكان أ = i.ب؛ حيث: i.ب عدد تخيّلي، ثم بتربيع الطرفين: أ²=(ب².i²)، وتعويض قيمة i² = -1، ينتج أنّ: أ²=-ب²، ثمّ نقل ب² إلى الطرف الآخر لينتج أنّ: أ² ب²=0، وحتى تتحقق هذه المعادلة يجب لكل من قيمة أ، ب أن تساوي الصفر، ولكن ذلك يُناقض الفرضية الأولى أنّ: أ،ب≠0، وبالتالي لا يُمكن لعدد حقيقي أن يتساوى مع عدد تخيلي.
  • يتساوى العددان المركبان إذا تساوى الجزء الحقيقي في كليهما وتساوى الجزء التخيلي في كليهما؛ أي أنّ: (أ i.ب) = (ج i.د)، إذا كان: أ=ج، ب=د، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:
    • مثال: ما هي قيم س، ص في: ع = 2س 4.i.ص، ل= -i³.س-ص 3؟
      • مساواة الجزأين الممثلين للعدد الحقيقي معاً: 2س = 3-ص ..... المعادلة الأولى.
      • مساواة الجزأين الممثلين للعدد التخيلي معاً: -i³.س = 4.i.ص، وبالتالي ينتج أنّ: س = 4ص ..... المعادلة الثانية.
      • تعويض قيمة س من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى لينتج أنّ: 2×4×ص=3-ص لينتج: 9ص=3، ثمّ ترتيب المعادلة لينتج أنّ: ص=⅓، ثمّ تعويض قيمة ص في: س=4ص، لتنتج قيمة س= 4⁄3.
    • مثال: ما هي قيم س، ص إذا كان (3-4.i)×(س ص.i.0 1= (i؟
      • بأخذ الجزء الأيسر من المعادلة وفك الأقواس ينتج أنّ: 3س 3ص.i-(4 س.i) -(4.ص.i²).
      • تعويض قيمة i² = -1 لينتج أنّ: 3س 3ص.i-(4 س.i) (4.ص).
      • أخذ i كعامل مشترك لينتج أنّ: 3س 4ص i.(3ص -4 س).
      • بما أن العددين المركبين متساويين فإن الجزء الحقيقي متساوٍ في كليهما حسب الخاصيّة السابقة: 3س 4ص=1، والجزء التخيلي متساوِ: i(3ص -4 س)=0.i، وبترتيب المعادلة ينتج أنّ: 3ص=4س، ومنه ص=4/3×س ..... المعادلة الأولى.
      • تعويض قيمة ص من المعادلة الأولى في: 3س 4ص=1 لينتج أنّ: 3س 4(4/3×س)=1، 3س 16⁄3س=1، وبتوحيد المقامات ينتج أنّ: 9⁄3س 16⁄3س=1، 25⁄3س=1، ومنه: س=3⁄25.
      • تعويض قيمة س في المعادلة الأولى: ص=4/3س، لينتج أنّ قيمة ص = 4⁄25.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

يُمكن إجراء العمليات الحسابية المختلفة على الأعداد المركبة كما يأتي:

  • الجمع: تتم عملية جمع عددين مركبين عن طريق جمع كل من الجزء الحقيقي في كليهما على حدة، وجمع الجزء التخيلي على حدة؛ فمثلاً عند جمع العددين المركبين: (أ ب.i) (ج د.i)، ينتج أنّ: (أ ج) (ب د).i.
  • الضرب: تتم عملية الضرب بفك الأقواس وتعويض قيمة i²=-1؛ فمثلاً عند ضرب العددين المركبين: (أ ب i)×(ج د.i)، ينتج أنّ: أ.ج أ.د.i ب.ج.i ب.د.i²، وتعويض i²=-1 لينتج أنّ: أ.ج أ.د.i ب.ج.i-ب.د، ثمّ ترتيب الأجزاء الحقيقية والتخيلية، وتجميعهما معاً لينتج أنّ: أ.ج-ب.د (أ.د ب.ج).i.
  • مرافق العدد المركب: وينتج عند استبدال i بالعدد المركب بـ : (-i)، ويتم الإشارة إليه عن طريق وضع خط فوق العدد المركب؛ فمثلاً مرافق العدد المركب (أ ب.i) هو: (أ-ب.i).
  • القسمة: تتم عملية قسمة عدد مركب على عدد مركب آخر عن طريق ضرب كل من البسط والمقام بمرافق المقام؛ فمثلاً عند قسمة العدد المركب ز على و: ز/و، يجب أولاً ضرب كل من البسط والمقام بمرافق (و) والذي يساوي: (وَ) فينتج أنّ: (ز×وَ)÷(و×وَ)= (ز×وَ)/|و|².
    • مثال: (1 i) ÷ (i-1).
    • ضرب كلّ من البسط والمقام بمرافق المقام (1 i) لينتج أنّ: (1 i) ÷ (i-1) = i.

أهمية الأعداد المركبة

تكمن أهمية الأعداد المركبة في التطبيقات والاستخدامات التي تدخل فيها، ومنها ما يأتي:

  • حل المعادلات متعددة الحدود، إذ تستخدم في حل المعادلات التربيعية.
  • تستخدم في الهندسة الكهربائية، وميكانيكا الكم.
  • تستخدم في الإلكترونيات والمجالات الكهرومغناطيسية.
  • تستخدم في ديناميكا السوائل.
  • تتميز بأنه يمكن تمثيلها بيانياً.
  • تتميز بأنها تحقق الخاصية التبديلية والتجميعية لعملية الجمع.
  • تتميز بأنها تحقق الخاصية التبديلية والتجميعية والتوزيعية لعملية الضرب.

نظرة عامة حول الأعداد المركبة

من المعروف أنه عند تربيع أي عدد من الأعداد الحقيقيّة ما عدا الصفر فإنّ الناتج يكون دائماً عدداً موجباً، وبالتالي لا يُمكن لأيّ عدد حقيقي أن يُحقق المعادلة: س² 1=0، لأنه من المُستحيل أن تكون قيمة س² سالبة، لذلك تم استحداث مجموعة جديدة من الأعداد وإضافتها إلى مجموعات الأعداد المعروفة وهي الأعداد المركبة (بالإنجليزية: Complex Numbers)، ومن أهم ميزاتها هو احتواؤها على العدد i، وهو عدد مربعه يساوي سالب واحد؛ أي أنّ: ²i = -1، وتُكتب عادة على الشكل أو الصورة العامة الآتية:

  • ك = أ ب.i، حيث؛ (ك): عدد مركب، (أ، ب) أعداد حقيقية، أمّا (i² = -1، ومنه: i = √-1)، ومن الأمثلة على الأعداد المركبة ما يلي: 3 2i ،3i.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه يُمكن اعتبار كلّ عدد حقيقي على أنّه عدد مركب؛ فإذا كان ح هو عدد حقيقي؛ فإنّه يمكن كتابته على شكل: ح = ح 0×i.

29تعليم
مزيد من المشاركات
أسعار العقارات في الإمارات

أسعار العقارات في الإمارات

نبذة عن أسعار العقارات في الإمارات يُعتبر القطاع العقاريّ في دولة الإمارات، من أكثر القطاعات المتميّزة في الدولة، بحيث شهد العديد من التطورات والازدهار منذ فترة قريبة، الأمر الذي أدّى إلى جذب المزيد من المستثمرين للاستثمار في العقارات في دولة الإمارات ، وفيما يأتي أسعار العقارات في الإمارات بحسب أمور معيّنة: أسعار العقارات من حيث نوعها يمكن إيراد أسعار العقارات من حيث نوعها في دولة الإمارات كالآتي: أسعار الشقق تتراوح أسعار الشقق في دولة الإمارات من 400,000 درهم إماراتيّ إلى 6 ملايين درهم
أسماء الأفعال

أسماء الأفعال

تعريف أسماء الأفعال أسماء الأفعال: هي ألفاظ تُشبه الأسماء المبنيّة من حيث مُلازمتها لحركة واحدة ، وتُشبه الأفعال من حيث أنَّها تدل على حدثٍ مُقترن بزمن ، وقيل في تعريفها إنّها كلمات تدلُّ على معاني الأفعال دون أن تقبل دخول حركات الأفعال عليها. أقسام أسماء الأفعال تُقسم أسماء الأفعال من حيث دلالتها على معنى الفعل إلى ثلاثة أقسام: اسم فعل ماضٍ اسم الفعل الماضي هو ما كان لفظه دالاً على الماضي، مثل: هيهات وتعني بَعُد ، وسرعان وبطآن وتعنيان أسرعَ وأبطأ ، وشتّان وتعني افترق. اسم فعل مضارع اسم الفعل
الكواكب الغازية

الكواكب الغازية

الكواكب الغازية الكواكب الغازية والتي يُطلق عليها أيضًا اسم جيوفان (بالإنجليزية: Jovian Planets) هي المشتري ، وزحل، وأورانوس، ونبتون، وقد سميت بذلك نظرًا لتركيبها الغازي، حيث تتكون بشكلٍ أساسي من غازات الهيليوم والهيدروجين، إلى جانب امتلاكها نواةً صخرية صغيرة الحجم، وتمتاز هذه الكواكب بحجمها الكبير، وهي تقع في الجزء الخارجي من النظام الشمسي ، وتحديدًا خارج مدارات المريخ وحزام الكويكبات، علمًا أنّ المشتري وزحل يمتلكان حجمًا أكبر من أورانوس ونبتون، كما أنّ لكل زوج من هذه الكواكب تركيبة وخصائص
أفضل رياضة للجسم

أفضل رياضة للجسم

الرياضة إنّ الرياضة هي وسيلة للعيش السعيد بعيداً عن الشيخوخة؛ حيث تُعتبر الطريقة الأمثل للحفاظ على الصحة وتحسين المزاج العام؛ لما لها من آثار عظيمة في خفض نسب الإصابة بالأمراض؛ فهي تُخفّض نسب السكر في الدم، وتعيد توازن الضغط في الجسم، وتخلّصه من التوتر والعصبية، كما يمكن من خلال الرياضة حرق السعرات الحرارية الزائدة التي تجنّب معظم أمراض العصر؛ كالسمنة، وارتفاع الكولسترول، وأمراض القلب؛ كالجلطات وتصلب الشرايين. تتنوّع الرياضات التي يمارسها الأفراد حول العالم؛ فهناك رياضة المشي والجري والسباحة
بحث فيزياء عن الحركة

بحث فيزياء عن الحركة

تعريف الحركة تُعرف الحركة فيزيائياً على أنّها تغيّر يحدث لموقع الجسم من مكان إلى مكان آخر مختلف تماماً، وتقسم الحركة إلى ثلاثة أصناف أهمّها ما يلي: الحركة الدورانية: التي تمثل دوران الأرض حول نفسها. الحركة الخطية: التي تمثل حركة السيارة في طريق مستقيمة، والحركة التذبذبية؛ التي يقوم بها النابض أو البندول. الحركة في اتجاه واحد (الحركة المتجهة): وقد تكون بشكل أفقي أو عمودي أو إلى الجهة الشرقية أو الغربية، أمّا المسافة التي يقطعها الجسم خلال حركته فتُعرف بالإزاحة. علوم الحركة هناك مجموعة من
إنجازات محمد على باشا

إنجازات محمد على باشا

إنجازات محمد علي باشا يطلق على محمد علي باشا مؤسس مصر الحديثة، لما قام به من إنجازات كبيرة خلال فترة حكمه التي امتدت من عام 1805 إلى عام 1848، وقد شملت إنجازات محمد علي باشا جميع الجوانب ويمكن توضيحها كما يأتي: إنجازات في الجانب العسكري هناك العديد من الإنجازات العسكرية التي قام بها محمد علي باشا، ومن أبرزها ما يأتي: أنشأ المدارس العسكرية التي عنيت بتدريس القوانين والأنظمة العسكرية وغيرها من العلوم. حاول إنشاء جيشاً نظامياً مرتباً متمثلاً في ذلك الموجود بالدول الغربية. عمل على صناعة السفن
تأثير النفايات الصناعية على البيئة

تأثير النفايات الصناعية على البيئة

تأثير النفايات الصناعية على البيئة تؤثر المخلفات الصناعية على البيئة وبعض من هذه التأثيرات هي: تشكل النفايات الصناعية السائلة التي يتم إلقاؤها في البحر بشكل خطير على النظم البيئية البحرية . تطلق الصناعات العديد من الغازات الضارة مثل: ثاني أكسيد الكربون، وثاني أكسيد الكبريت، وأكاسيد النيتروجين، وما إلى ذلك والتي تسبب تلوث الهواء. توجد النترات والفوسفات في مياه الصرف الصناعي التي غالبًا ما تسبب نمو كثيف للحياة النباتية، وموت الحياة الحيوانية بسبب نقص الأكسجين. يسبب وجود الهواء غير النقي والملوث
شرح الجناس الناقص

شرح الجناس الناقص

شرح الجناس النّاقص الجناس في الّلغة العربيّة هو حالة من التّشابه في النّطق بين كلمتين مع اختلاف المعنى، أمّا الجناس الناقص يختلف عن الجناس التام بعدد الحروف، ونتيجة ذلك هو حدوث نقص للكلمة عن كلمة مُشابهة لها في الأحرف، سواء كان بحرف أو حرفين، ومهما اختلف مكان هذا النّقص؛ في أوّل الكلمة أو وسطها أو آخرها، ولأنّ الجناس يحدث بين كلمتين؛ فقد تكونان اسمين، أو فعلين أو حرفين، وفيما يلي بيان أقسام الجناس النّاقص مفصّلة. أقسام الجناس النّاقص يُقسّم الجِناس الناقص إلى 18 قسمًا؛ تسعةٌ منها لِما ينقص