المعادلات المثلثية
تعرف المعادلات الرياضية بأنها نوع من أنواع المعادلات الذي يحتوي على نسبة مثلثية أو أكثر والتي تربط بين أطوال وزوايا المثلثات، أما أشهر النسب المثلثية هي جيب الزاوية (جا)، جيب تمام الزاوية (جتا)، ظل الزاوية (ظا) بالإضافة إلى وجود نسب مثلثية أخرى؛ وهي قاطع الزاوية (قا)، قاطع تمام الزاوية (قتا)، ظل تمام الزاوية (ظتا).
كيفية حل المعادلات المثلثية
هنالك العديد من الطرق المستخدمة في حل المعادلات المثلثية حيث تعتمد كل طريقة على المتغيرات الموجودة بها بالإضافة إلى استخدام الآلة الحاسبة في إيجاد قيمة بعض النسب المثلثية، وهذه أشهر الطرق المتبعة في ذلك مع بعض الأمثلة عليها:
حل المعادلات المثلثية باستخدام دائرة الوحدة
تعد دائرة الوحدة عبارة عن دائرة يكون فيها نصف القطر يساوي (1) يتم من خلالها إظهار بعض الزوايا المشتركة في أرباع الدائرة المتعارف عليها وحساب النسب المثلثية لها؛ فمثلاً للزاوية 30 يكون جا(30) = 1/2 ، جتا(30) = 3^(1/2) / 2 ، ظا(30) = 1/ 3^(1/2).
مثال: جد مقدار 2 × جا(س) 4 = 3.
الحل:
- 2 × جا(س) 4 = 3 ؛ حيث تكون (س) هي الزاوية المراد إيجادها في المعادلة
- 2 × جا(س) = -1
- جا(س) = -1/2 ؛ وبذلك نجد الزاوية الذي يكون الجيب فيها يساوي -1/2 باستخدام دائرة الوحدة
- يكون الناتج زاويتين إما س = 210 أو س = 330
حل المعادلات المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية والتحويلية وخصائص الدوال
قد يواجه الفرد أثناء حل المعادلات المثلثية بعض الأمور التي قد تصعّب حل هذه المعادلات؛ مثل وجود نسب مثلثية مختلفة فيها أو وجود زوايا مضاعفة وغيرها من الأمور، في هذه الحالة يتم الاستعانة ببعض خصائص الدوال المثلثية والمتطابقات لحلها؛ وهذه بعض المتطابقات المشهورة:
- ظا(س) = جا(س) / جتا(س)
- جا^2 (س) جتا^2 (س) =1
- جا(2×س) = 2×جا(س)×جتا(س)
- جتا(2×س) = 1- 2×جا^2 (س)
- قا^2 (س) = 1 ظا^2 (س)
- ظا(2×س) = ( 2 × ظا(س)) / ( 1- ظا^2 (س))
مثال: جد جتا(4×س) - جا(2×س)=0 عليها.
الحل:
- حول النسب المثلثية المختلفة إلى نسبة واحدة فقط في المعادلة مع توحيد الزوايا:
- في المسألة المذكورة أعلاه نجد أنها تحتوي على جيب وجيب التمام في نفس المعادلة بالإضافة إلى اختلاف الزوايا:
- وحد النسب والزوايا فيها باستخدام متطابقة ضعف زاوية جيب التمام:
- جتا(2×س) = 1- 2×جا^2 (س) حيث تصبح 2 جا^2 (2×س) جا(2×س) - 1 = 0.
- حل المعادلة باستخدام الطريقة المناسبة:
- وحد النسب المثلثية والزوايا يتم حلها بشكل طبيعي؛ في المسألة المذكورة تبدو كأنها عبارة عن معادلة تربيعية يتم حلها عن طريق إيجاد عواملها فينتج منها عاملان هما:
- جا(2×س)= -1 ، جا(2×س) = 1/2.
- جد الزاوية التي تعطي القيمة المعطاة: في المسألة المذكورة يتم إيجاد الزاوية التي تعطي جيب يساوي -1 والزاوية الأخرى التي تعطي الجيب يساوي 1/2 وعليه:
- الزاوية الأولى 2×س = 270 ومنها س = 135
- الزاوية الثانية 2×س = 30 و س=150 ومنها س=15، س= 75 حيث يكون لهذه المعادلة ثلاثة حلول.
