حساب مساحة الشكل البيضاوي

طرق حساب مساحة الشكل البيضاوي

يُطلق على الشكل البيضاوي الذي يُشبه الدائرة المضغوطة بالقطع الناقص، ولذلك يُمكن حساب مساحة هذا النوع باستخدام قانون مساحة القطع الناقص والذي يعتمد بشكل رئيسي على أنصاف أطوال المحاور التي تمر عبر مركزه، وإذا لم يكن الشكل البيضاوي منتظمًا، فإنّه يُمكن حساب مساحته من خلال تقسيمه إلى أشكال منتظمة ثم إيجاد مساحتها.

حساب مساحة الشكل البيضاوي باستخدام قانون القطع الناقص

يُمكن حساب مساحة الشكل البيضاوي باستخدام قانون القطع الناقص الذي يتضمن أطوال المحور الرئيسي والثانوي وهو كالآتي:

مساحة الشكل البيضاوي = π × نصف طول المحور الرئيسي × نصف طول المحور الثانوي

ويُمكن تمثيله بالرموز كالآتي:

A = π × a × b

حيث إنّ:

• A: مساحة الشكل البيضاوي أو مساحة القطع الناقص.
• π: ثابت باي وقيمته 3.14 أو 22/7.
• a: نصف طول المحور الرئيسي.
• b: نصف طول المحور الثانوي.

للتوضيح فإن المحاور هي خطوط تربط بين نقطتين على المحيط وتمر عبر المركز، ونظرًا إلى أنّ المسافة بين هذه النقاط والمركز ليست ثابتة فإنّ أطوال المحاور ليست ثابتة، ويُسمى أطول محور للقطع الناقص بالمحور الرئيسي، بينما يُسمى أقصر محور للقطع الناقص بالمحور الثانوي، ويكون دائمًا عموديًّا على المحور الرئيسي.

حساب مساحة الشكل البيضاوي غير المنتظم

يُمكن حساب مساحة الشكل البيضاوي غير المنتظم بعدّة طرق كالآتي:

• تقسيم الشكل البيضاوي غير المنتظم لمربعات متطابقة

تُستخدم هذه الطريقة لحساب مساحة الأشكال ذات المنحنيات بحيث يُقسم الشكل إلى مربعات متطابقة، ثم تُحسب عدد المربعات التي تقع داخل الشكل، ثم تُحسب المساحة الكلية لهذه المربعات.

• تقسيم الشكل البيضاوي غير المنتظم لأشكال منتظمة

يكون ذلك بتقسيم الشكل البيضاوي غير المنتظم إلى أشكال منتظمة، مثل: المثلثات، أو المربعات، أو أي شكل آخر، إضافةً للمنحنيات كأن تكون ربع أو نصف دائرة، ثم تُحسب مساحة الأشكال المنتظمة باستخدام قوانين المساحة في الرياضيات ، لإيجاد المساحة الكلية للشكل اليضاوي غير المنتظم.

أمثلة على حساب مساحة الشكل البيضاوي

ندرج فيما يأتي بعض الأمثلة الحسابية على مساحة الشكل البيضاوي:

احسب مساحة الشكل البيضاوي إذا علمتَ أنّ نصف طول المحور الرئيسي يساوي 8 سم، ونصف طول المحور الثانوي يساوي 4 سم.

الحل:

• اكتب المعطيات:
  • نصف طول المحور الرئيسي= 8 سم.
  • نصف طول المحور الثانوي= 4 سم.
• مساحة الشكل البيضاوي= π × نصف طول المحور الرئيسي × نصف طول المحور الثانوي
  • مساحة الشكل البيضاوي= 3.14 × 8 × 4
• مساحة الشكل البيضاوي= 100.48 سم²

ما هي مساحة الشكل البيضاوي الذي يساوي قطره الأكبر 18 سم، وقطره الأصغر 10 سم؟

الحل:

• اكتب المعطيات: قطر الشكل البيضاوي الأكبر (طول المحور الرئيسي)= 18 سم وقطره الأصغر 10 سم.
• احسب نصف طول المحور الرئيسي أو نصف طول القطر الأكبر كالآتي:
  • نصف طول المحور الرئيسي= طول المحور الرئيسي/ 2
  • نصف طول المحور الرئيسي= 18/ 2 = 9 سم.
  • نصف طول المحور الثانوي= طول المحور الثانوي/ 2
  • نصف طول المحور الثانوي= 10/ 2 = 5 سم.
• طبّق قانون مساحة الشكل البيضاوي:
  • مساحة الشكل البيضاوي= π × نصف طول المحور الرئيسي × نصف طول المحور الثانوي
  • مساحة الشكل البيضاوي= 3.14 × 9 × 5
• مساحة الشكل البيضاوي= 141.3 سم²

قطعة أرض بيضاوية الشكل، طول نصف قطرها الأكبر يساوي 44 م، وطول نصف قطرها الأصغر 25 م، جد مساحة قطعة الأرض.

الحل:

• اكتب المعطيات:
  • نصف طول المحور الرئيسي= 44 م.
  • نصف طول المحور الثانوي= 25 م.
• مساحة الشكل البيضاوي= π × نصف طول المحور الرئيسي × نصف طول المحور الثانوي
  • مساحة الشكل البيضاوي= 3.14 × 44 × 25
• مساحة قطعة الأرض بيضاوية الشكل= 3454 م².

إذا علمتَ أنّ مساحة الشكل البيضاوي تساوي 124 سم²، وطول محوره الرئيسي يساوي 16 سم، احسب طول المحور الثانوي لهذا الشكل.

الحل:

• اكتب المعطيات:
  • مساحة الشكل البيضاوي= 124 سم².
  • طول المحور الرئيس= 16 سم.
  • نصف طول المحور الرئيسي= طول المحور الرئيسي/2
  • نصف طول المحور الرئيسي= 16/ 2 = 8 سم.
  • مساحة الشكل البيضاوي= π × نصف طول المحور الرئيسي × نصف طول المحور الثانوي
  • 124= 3.14 × 8 × نصف طول المحور الثانوي
• نصف طول المحور الثانوي = 4.9 سم.
  • طول المحور الثانوي= نصف طول المحور الثانوي × 2
  • طول المحور الثانوي= 4.9 × 2
• طول المحور الثانوي= 9.8 سم.

جد نصف طول المحور الرئيسي لشكل بيضاوي تبلغ مساحته 50 سم² ونصف طول محوره الثانوي 2.65 سم.

الحل:

• اكتب المعطيات:
  • مساحة الشكل البيضاوي = 50 سم².
  • نصف طول المحور الثانوي = 2.65 سم.
• مساحة الشكل البيضاوي = π × نصف طول المحور الرئيسي × نصف طول المحور الثانوي
  • 50 = 3.14 × نصف طول المحور الرئيسي × 2.65
• نصف طول المحور الرئيسي = 6 سم.

علاقة مساحة الدائرة بمساحة الشكل البيضاوي

تتشكل الدائرة عندما يتم قطع مخروط بمستوى موازي لقاعدته، وبالتالي فإن أنصاف أقطارها تكون متساوية، بينما يتشكل الشكل البيضاوي عندما يتم قطع مخروط بمستوى غير موازي لقاعدته، وبالتالي تكون أنصاف أقطاره غير متساوية.

بناءً على ما تم توضيحه بخصوص أنصاف الأقطار فإنه يمكننا اشتقاق قانون مساحة الدائرة من قانون مساحة الشكل البيضاوي كالآتي:

1. مساحة الشكل البيضاوي = π × نصف طول المحور الرئيسي × نصف طول المحور الثانوي
2. بما أنّ طول المحور الرئيسي والثانوي في الدائرة متساويان، إذًا يُمكن حساب مساحة الدائرة وفق القانون الآتي:

مساحة الدائرة = π × (نصف القطر)²