حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل

الحجم في الرياضيات يمكن حسابه للأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد (المجسمات)؛ كالكرة، والأسطوانة، والمكعب، والهرم، وغيرها، وهو السعة التي يشغلها المجسم، ولحسابه نحتاج إلى الأبعاد الثلاثة التي تشكل المجسم، والمخروط الدوراني يعتبر من الأشكال الهندسة ثلاثية الأبعاد التي لها حجم.

حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل

المخروط الدوراني (الدائري) هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد له سطح مستوٍ دائري، وسطح منحنٍ موجه نحو الأعلى إلى نقطة تقع خارج سطح القاعدة، وتسمى النهاية المدببة للمخروط بالقمة، وهناك العديد من الأشكال التي نشاهدها في حياتنا اليومية والتي تمثل مثالاً على المخروط الدوراني؛ كالأقماع المستخدمة في تنظيم المرور، وقمع المثلجات، وقبعات حفلات أعياد الميلاد.

يساعد التكامل في ايجاد حجم الأشكال غير العادية التي من الصعب تحديد أبعادها، كما ويستخدم في اشتقاق صيغ الحجم لعدة أشكال هندسية، حيث يعمل التكامل على تقطيع الشكل إلى عدد لا نهائي من القطع الصغيرة جدًا ثم يتم جمع هذه القطع لحساب الحجم الإجمالي، لذا يمكن استخدام التكامل لحساب حجم المخروط الدوراني.

استخدام طريقة التكامل بالأقراص والفلكة

كما أسلفنا الذكر يمكن أن نحصل على المخروط الدوراني نتيجة دوران مثلث قائم حول أحد أضلاع القائمة، ويمكن لنا أن نستفيد من هذه الخاصية في حساب حجمه من خلال التكامل، عبر تمثيل المثلث القائم في المستوى البياني على هذا النحو:

أحد أضلاع الزاوية القائمة الذي هو ارتفاع المخروط (ع)، ينطبق على محور السينات.
الضلع الآخر للقائمة يمثل نصف قطر المخروط (نق) ويكون موازياً لمحور الصادات.
رأس المثلث (نفسه رأس المخروط) عند نقطة الأصل.
وبتدوير الشكل حول محور السينات دورة كاملة يصبح لدينا مخروط دوراني ارتفاعه (ع) ونصف قطره (نق).

استخدام التكامل لحساب حجم المخروط الدوراني

لحساب حجم المخروط الدوراني نتبع الخطوات الآتية:

ص = ( نق/ع )× س؛ معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل (ضلع القائمة للمثلث؛ الوتر).
م(س) = 𝜋 ص؛ مساحة المقطع العرضي للمخروط الناتج عن الدوران.
= 𝜋 (نق/ ع) × س ؛ تعويض ص في قانون المساحة.
ثم نأخذ التكامل للمساحة لحدود التكامل من س=0 إلى س=ع للحصول على الحجم.
ʅ ( 𝜋 (نق/ ع) × س ) دس.
بإخراج الثوابت 𝜋 (نق/ ع) خارج التكامل.
𝜋 (نق/ ع) ʅ ( س ) دس.
𝜋 (نق/ ع) × [ (س /3) ] ₀ وبعد تعويض س=0 وس=ع فإن الحجم يساوي:
الحجم = (3/1) 𝜋 نق ع.

خصائص المخروط الدوراني وأبعاده

الخصائص الرئيسية للمخروط الدوراني وأبعاده هي كما يلي:

له وجه دائري واحد يسمى القاعدة، ونصف قطرها هو نق.
ليس له حواف.
له رأس واحد وهو رأس المخروط، والخط الواصل ما بين رأس المخروط ومركز القاعدة يسمى محور المخروط ويمثل ارتفاعه ويرمز له بالرمز ع.
راسم المخروط وهو الخط الذي يصل بين رأس المخروط وأي نقطة على محيط القاعدة ويرمز له بالرمز ل.

أنواع المخروط الدوراني

للمخروط الدوراني نوعان اعتمادًا على موقع رأس المخروط بالنسبة إلى مركز القاعدة الدائرية وهما:

مخروط دوراني قائم: يكون رأس المخروط فوق مركز القاعدة الدائرية مباشرة أي أن محور المخروط يشكل زاوية قائمة مع مستوى مركز القاعدة، ويمكن إنشاؤه من خلال دوران مثلث قائم الزاوية حول أحد أضلاع الزاوية القائمة.
مخروط دوراني مائل: يكون رأس المخروط بعيدًا عن مركز القاعدة الدائرية.

2023-12-1439تعليم

مزيد من المشاركات

العلاقة بين الغطاء النباتي والتضاريس

ما هي العلاقة الأساسية التي تربط بين الغطاء النباتي والتضاريس؟ من أهم النقاط التي توضح العلاقة الأساسية والتي تربط بين الغطاء النباتي والتضاريس هي: التضاريس تؤثر بشكٍل مباشر في بنية التربة. التضاريس تؤثر في المناظر الطبيعية. التضاريس تؤثر في توزيع مغذيات التربة المختلفة. الغطاء النباتي يلعب دورًا هامًا في تحسين واستعادة البيئات البيئية الهشة. العوامل الطبوغرافية والتربة والنباتات ترتبط مع بعضها البعض ارتباطًا وثيقًا، والتي تُساعد على استصلاح الأراضي. تُساعد خصائص التربة المختلفة على تحديد

ملخص رواية الفهد الأسود

تلخيص رواية الفهد الأسود الفهد الأسود رواية من تأليف الكاتبة تسنيم المرشدي، مؤلّفة من ثلاثين فصلًا، وكُتبت على جزأيْن، تدور أحداث الرواية حول بطلٍ يُدعى عمران يعمل في الجيش، يقع في غرام فتاة، ويقرّر أن يحاربَ من أجلها. انتصار الجيش على الإرهابيين بدأ أفراد الجيش -الذي يعمل فيه بطل الرواية عمران- بالهجوم على عصابة الإرهاب واقتحام المكان بأمرٍ من قائد المجموعة، كان هؤلاء الإرهابيون على درجة عالية من المهارات القتالية لذا كان الأمر صعبًا بعض الشيء على أفراد المجموعة، إلا أنهم في نهاية الأمر

كيفية بيع عقار في الإمارات

خطوات بيع عقار في الإمارات تتمثّل خطوات بيع عقار في دولة الإمارات في النقاط الآتية: أولاً: البحث عن وسيط عقاريّ مناسب تلعب الوساطة العقاريّة دوراً رئيسيّاً في عملية بيع العقار، وتتمثّل الوساطة العقاريّة في شركات العقارات، و مكاتب العقارات الموجودة في الإمارات ، بحيث يستعين بها الأفراد على بيع وشراء العقارات التي يرغبونها، وبالتالي يشكّل الوسيط العقاريّ حلقة الوصل بين البائع والمشتري، كما يجب اختيار وسيط عقاريّ مرخّص ومعتمد من دائرة الأراضي والأملاك في الإمارات، بحيث يلتزم بكافّة القوانين وشروط

نبذة عن رواية يا صاحبي السجن

نبذة عن رواية يا صاحبي السجن تعد رواية يا صاحبي السجن إحدى روايات الكاتب أيمن العتوم ، وقد نشرت في عام 2012م أول مرة من قبل المؤسسة العربية للدراسات والنشر في بيروت، وتقع الرواية في نحو 344 صفحة، وتتناول تجربة الكاتب والشاعر الأردني أيمن العتوم في السجن بين عامي 1996م و1997م، ويتميز أسلوب العتوم في الرواية باللغة الشعرية، كما أنَّ يحلق في عوالم النفس البشرية، ويداخل الأمكنة بالأزمنة ببراعة. لاقت الرواية رواجًا كبيرًا في الأردن، وقد نفدت الطبعة الأولى منها خلال شهرين فقط، كما نالت إعجاب معظم

خطوات التفويض الإداري

خطوات التفويض الإداري يمر التفويض الإداري بالعديد من الخطوات لتحقيقه، وهي كما يأتي: التنازل عن المهام للمرؤوسين في أول خطوة من خطوات التفويض يجب تحديد المهام وملامِحِها والهدف من كُل مهمة حيث يقوم المفوِّض بتِبيان كل التفاصيل للمفوَّضين، حتى لا يحصل اختلاف في النتائج بعد ذلك يكون سبَبُه سوء الفهم، بعد أن يتم توضيح تفاصيل المهام يتم توزيعها على المرؤوسين كلٌ حسب دورُه وتصنيفُه في مكان العمل. إعطاء مقدار السُلطة المناسب كمفوِّض يجب عليك تفويض السلطة ، وهذا يعتمدُ اعتماداً كبيراً على خطواتك

شكل الارض وأبعادها

ما هو شكل الأرض؟ توصّل البشر قبل أكثر من 2000 عام إلى أنّ الأرض شبه كروية الشكل مائلة للشكل البيضوي، إذ استخدم العلماء قديماً قياسات الظلال ودراسات النجوم والرياضيات في سبيل معرفة محيط الأرض وشكلها. حيث تبيّن لاحقاً أنّ محيط الأرض وقطرها ليسا متساويان دائماً، إذ إنّ محيط الأرض وقطرها في منتصف الكرة الأرضية (عند خط الاستواء) أكبر من محيط الأرض وقطرها عند القطبين، وتشير المعلومات إلى أنّ مقدار تضخم الأرض عند خط الاستواء يقدّر بحوالي 42.72 كم بالنسبة لقطبيها. دلائل تثبت شكل الأرض يزعم البعض بأنّ

ما هو علم الفلك

علم الفلك علم الفلك هو الدراسة العلمية للكون، وكل الأجرام الموجودة في الفضاء كالشمس، والكواكب، والنجوم، والأقمار، بالإضافة إلى دراسة الظواهر خارج كوكب الأرض، اهتمّ علم الفلك قديماً بتتبع أوضاع الشمس، والقمر، والكواكب للاستفادة منها في مجال التقويم، كما أنّهم استفادوا من علم الفلك في الملاحة، وتوسع حالياً ليشمل دراسة المسافات، والنظام الشمسيّ، والنجوم الموجودة في مجرة درب التبانة وغيرها من المجرات، ومع اكتشاف المجسّات الفضائية توسّع أكثر ليشمل دراسة كوكب الأرض. يقترب علم الفلك من الفيزياء

مدن تونس السياحية

تونس تقع جغرافياً في الجهة الشمالية من قارة أفريقيا، وتعرف رسمياً باسم الجمهورية التونسية، وعاصمتها مدينة تونس، ونظام الحكم فيها جمهوريّ برلمانيّ، وشعارها الوطني هو: (الحرية - الكرامة - العدالة - النظام)، وتبلغ مساحة أراضيها 163.610كم²، ويبلغ عدد سكانها 10.982.754 نسمةً وذلك حسب إحصائيات عام 2014م، وعملتها الرسمية هي الدينار التونسيّ. مدن تونس السياحية مدينة سيدي بوسعيد تأسّست المدينة في القرون الوسطى، وتقع جغرافياً في أعلى المنحدر الصخري الذي يطلّ على خليج تونس ومدينة قرطاج، وسميت بهذا الاسم