حساب المسافة بين نقطة ومستقيم
تُمثل المسافة بين نقطة ومستقيم الخط العمودي النازل من هذه النقطة إلى الخط المستقيم بحيث تكون هذه المسافة هي أقصر مسافة بينهما، ويُمكن حساب المسافة بين النقطة (ع) التي إحداثياتها على المستوى الديكارتي (س1، ص1)، وبين المستقيم (ل) الذي معادلته الخطية:
(أ س ب ص جـ = 0)
وذلك باستخدام الصيغة الرياضية الآتية:
ف = |أ س1 ب ص1 جـ| / (أ² ب²)√
حيث إنّ:
- ف: المسافة العمودية بين النقطة و الخط المستقيم .
- (س1، ص1): إحداثيات النقطة التي تبعد عن الخط المستقيم.
- (أ، ب، جـ): أعداد حقيقية.
أمثلة على حساب المسافة بين نقطة ومستقيم
ندرج فيما يأتي أمثلة على حساب المسافة بين نقطة ومستقيم:
إيجاد المسافة بين نقطة ومستقيم
مثال: أوجد طول الخط المستقيم الواصل بين الخط المستقيم -3 س 9 ص 8 = 0، والنقطة (3، 7).
الحل:
إيجاد قيم (س1، ص1) من إحداثيات النقطة على النحو الآتي:
إيجاد قيم (أ، ب، جـ) من معادلة الخط المستقيم على النحو الآتي:
تعوض القيم في معادلة المسافة بين النقطة والخط المستقيم لإيجاد المسافة على النحو الآتي:
- المسافة = | أ س1 ب ص1 جـ | / (أ² ب²)√
- المسافة = | -3 × 3 9 × 7 8 | / ((-3)² 9²)√
- المسافة = | -9 63 8 | / (9 81)√
- المسافة = |62| / 90√
- المسافة = 62 / 9.486
- المسافة = 6.53 وحدة طول.
إيجاد معادلة الخط المستقيم
مثال: أوجد قيمة جـ في معادلة الخط المستقيم -4 س - 3 ص جـ = 0 إذا كانت المسافة بين هذا الخط والنقطة (6، -2) تساوي 5 سم.
الحل:
إيجاد قيم (س1، ص1) من إحداثيات النقطة على النحو الآتي:
إيجاد قيم (أ، ب) من معادلة الخط المستقيم على النحو الآتي:
تعوض القيم في معادلة المسافة بين النقطة والخط المستقيم لإيجاد قيمة جـ المجهولة على النحو الآتي:
- المسافة = | أ س1 ب ص1 جـ | / (أ² ب²)√
- 5 = | -4 × 6 -3 × -2 جـ | / ((-4)² (-3)²)√
- 5 = | -24 6 جـ | / (16 9)√
- 5 = | -18 جـ | / (25)√
- 5 = | -18 جـ | / 5
- 25 = | -18 جـ |
وبما أنّه توجد قيمة مطلقة فإنّه يوجد حلان للمعادلة وهما كالآتي:
تُحل المعادلة الأولى لإيجاد قيمة جـ الأولى على النحو الآتي:
تُحل المعادلة الأولى لإيجاد قيمة جـ الثانية على النحو الآتي:
