تعريف الجمع في الرياضيات

مفهوم عملية الجمع في الرياضيات

تّعرّف عملية الجمع في الرياضيات (بالإنجليزية: Addition) بأنّها عملية أساسية تُستخدم لإضافة رقمين، أو أكثر معًا، للحصول على المجموع الإجمالي لهذه الأرقام، وتُعرف هذه المجموعة باسم النتيجة أو الإجابة، ويُرمز لعملية الجمع بالرمز ( )، ويُعرف باسم علامة الجمع، ويُستخدم للربط بين الأرقام المُراد جمعها.

أهمية عملية الجمع في الرياضيات

تُعد عملية الجمع جزءًا رئيسيًا من الحياة، حيث تُستخدم كثيرًا في الحياة اليومية، ومن أكثر استخداماتها شيوعًا ما يأتي:

• التسوق

تُستخدم عملية الجمع في التسوق سواء أكان الشخص عميلًا، أو صاحب متجر، فهو بحاجة لعملية الجمع لمعرفة المبلغ المالي الذي يجب عليه دفعه.

• القياس

تُستخدم عملية الجمع لقياس مقدار ما يحتاجه مخزون لمشروع ما، أو تحديد كمية الأثاث التي يحتاجها المنزل، أو معرفة فيما إذا كان المخزون فائضًا أم لا وغير ذلك.

• الاستخدامات الروتينية اليومية

تُستخدم عملية الجمع في كثير من الاستخدامات الروتينية اليومية؛ كم عدد الكتب التي قرأتها، كم مرة تستحم في الأسبوع، كم مرة تقود السيارة في اليوم، كم عدد الأكواب لتقديم القهوة أو الشاي، كم عدد الأطباق لتقديم الغذاء أو العشاء، وغير ذلك.

• حساب الأجور والفواتير

تُستخدم عملية الجمع في حساب الفواتير، وحساب ساعات العمل، والمبلغ الذي يجب دفعه أجورًا للعمل.

• التقاويم

تُستخدم عملية الجمع في تحديد الأعمار، إذ يتكوّن عيد الميلاد من الأرقام، ويُضاف عليه رقمًا في كل عام.

شرح عملية الجمع في الرياضيات

تُستخدم عدّة طرق واستراتيجيات لجمع الأرقام في الرياضيات، وهي كما يأتي:

الجمع بالعد

يُمكن إجراء عملية العد من خلال تمثيل المسألة برسم الأشكال ، مثل: الكرات، أو الأعواد، أو الدوائر، وغيرها، ثم حساب عدد كل مجموعة لإيجاد المجموع الكلي للأشكال، كما هو موضح في المثال الآتي:

مثال: ? = 4 2

• رسم دائرتان لتمثيل العدد 2، ثم رسم 4 دوائر لتمثيل العدد 4.

OO OOOO

• عد الدوائرلإيجاد المجموع الكلي، وسيكون ناتج العد هو 6 دوائر.

OO OOOO = OOOOOO

6 = 4 2

الجمع باستخدام خط الأعداد

يُمكن استخدام خط الأعداد لإجراء عملية الجمع للأعداد الصحيحة، وذلك كما هو موضح في المثال الآتي:

مثال: ? = 4 2

• تمثيل الأعداد على خط الأعداد.

....8 7 6 5 4 3 2 1 0

• تحديد الرقم المُراد الإضافة إليه على خط الأعداد وهو الرقم 2.

....8 7 6 5 4 3 2 1 0

• تتم عملية الجمع على خط الأعداد من خلال التحرك إلى يمين الرقم المُراد الإضافة إليه بمقدار الإضافة، وهنا يجب التحرك 4 خطوات، وهي القيمة المُضافة إلى يمين الرقم 2 لإيجاد المجموع الكلي، وسنصل بذلك إلى العدد 6 وهو ناتج المسألة.

....8 7 6 5 4 3 2 1 0

• الحل: 6 = 4 2

الجمع بإعادة التجميع

تُستخدم طريقة إعادة التجميع لجمع الأعداد المكونة من منزلتين وأكثر، وذلك باتّباع الخطوات الآتية:

• تتمثل طريقة إعادة التجميع من خلال الجمع العمودي، بحيث تُرتب الأرقام عموديًا، ويوضع كل رقم تحت الرقم الذي يمتلك نفس القيمة المنزلية، وبالتالي توضع منزلة الآحاد فوق الآحاد، ومنزلة العشرات فوق العشرات، وهكذا.
• تُجمع كل منزلة مع بعضها بعضًا، ويبدأ الجمع من اليمين إلى اليسار، أي من منزلة الآحاد، ثم العشرات، ثم المئات، وهكذا.
• توضع نتيجة كل منزلة أسفل منها، وإذا كانت نتيجة المنزلة مكونة من رقمين، يُوضع الرقم الأول أسفل المنزلة، ويُضاف الرقم الثاني إلى المنزلة التي تليها.

مثال: ? = 39 42

...1

42

39

81

الجمع باستخدام جداول الجمع

يُمكن استخدام جداول الجمع لإضافة الأرقام الفردية المكونة من 1 إلى 10، وهو كما يأتي:

خصائص عملية الجمع في الرياضيات

تمتلك عملية الجمع في الرياضيات 4 خصائص أساسية، وهي كما يأتي:

الخاصية التبديلية

تنص الخاصية التبدلية على أنّ تغيير ترتيب الأعداد المُضافة إلى بعضها بعضًا، لا يؤثر على نتيجة الجمع؛ أي أنّ: (أ ب= ب أ)، كما هو موضح في المثال الآتي:

مثال: ? = 4 2

• 6 = 4 2
• 6 = 2 4
• وبالتالي فإنّ: 6 = 4 2 = 2 4

الخاصية التجميعية

تنص الخاصية التجميعية على أنّ طريقة تجميع الأعداد المُضافة، أو تغيير ترتيبها داخل الأقواس لا يؤثر على ناتج عملية الجمع، أي أنّ: أ (ب ج) = (أ ب) ج، كما هو موضح في المثال الآتي:

مثال: ? = 6 8 2

• ? = 6 (8 2)
• ? = 6 10
• 16 = 6 10

وبتغيير طريقة تجميع الأعداد المضافة كالآتي:

• ? = 6 8 2
• ? = (6 8) 2
• ? = 14 2
• 16 = 14 2

وبالتالي فإنّ: 16 = 6 (8 2) = (6 8) 2

الخاصية التوزيعية

تنص الخاصية التوزيعية على أنّ ناتج ضرب مجموع عددين في عدد آخر، يساوي مجموع نواتج ضرب كل عدد منهما على حدة في العدد الآخر، أي أنّ: أ × (ب ج)= أ×ب أ×ج، كما هو موضح في المثال الآتي:

مثال: ? = (6 1) × 2

• ? = (6 1) × 2
• ? = (7) × 2
• 14 = (7) × 2

وبتوزيع الضرب على الجمع كالآتي:

• ? = (6 1) × 2
• ? = 6×2 1×2
• ? = 12 2
• 14 = 12 2

وبالتالي فإنّ: 14 = (6 1) × 2 = (6 1) × 2

خاصية العنصر المحايد

تنص خاصية العنصر المحايد على أنّ إضافة أي رقم إلى العنصر المحايد، وهو الرقم صفر، فإنّ الناتج يكون الرقم نفسه، أي أنّ: ( أ 0 = أ ،أو 0 أ = أ)، كما هو موضح في المثال الآتي:

مثال: ? = 0 3

• 3 = 0 3
• 3 = 3 0
• وبالتالي فإنّ: 3 = 3 0 = 0 3

تمارين على عملية الجمع في الرياضيات

فيما يأتي تمارين على عملية الجمع في الرياضيات:

المثال الأول: أوجد ناتج جمع المعادلة الآتية باستخدام خط الأعداد: ? = 4 2-.

الحل:

....3 2 1 0 1- 2- 3-

• التحرك إلى يمين الرقم 2- بمقدار 4 خطوات لنصل إلى الرقم 2.
• وبالتالي الناتج: 2 = 4 2-

المثال الثاني: أوجد ناتج جمع المعادلة الآتية باستخدام طريقة الجمع بالعد: ? = 4 5.

الحل:

• تمثيل المعادلة باستخدام الأعواد:

|||| |||||

• عد الأعواد لإيجاد المجموع الكلي، وسيكون ناتج العد هو 9 أعواد.

||||||||| = |||| |||||

...9 = 4 5

الناتج: 9 = 4 5

المثال الثالث: أوجد ناتج جمع: ? = 421 483.

الحل:

......1

483

421

904

المثال الرابع: أوجد ناتج جمع: ? = (7 11) × 5.

الحل:

• يُمكن إيجاد ناتج الجمع بطريقتين حسب الخاصية التوزيعية للجمع، وهما كالآتي:
• ? = 7× 5 11× 5 = (7 11) × 5
• ? = 35 55 = (18) × 5
• ? = 90 = 90
• 90 = 90 = 90
• الناتج: 90 = (7 11) × 5

المثال الخامس: أوجد ناتج جمع: ? = 5 13 42.

الحل:

• يُمكن إيجاد ناتج الجمع بطريقتين حسب الخاصية التجميعية للجمع ، وهما كالآتي:
• ? = (5 13) 42 = 5 (13 42)
• ? = (18) 42 = 5 (55)
• ? = 60 = 60
• 60 = 60 = 60
• الناتج: 60 = 5 13 42