تحليل العدد إلى عوامله الأولية

مفهوم التحليل إلى العوامل الأولية

يمكن تعريف الأعداد أو العوامل الأولية (بالإنجليزية: Prime Numbers) بأنّها أعداد صحيحة أكبر من العدد واحد، ولا تقبل القسمة إلاّ عليه وعلى نفسها؛ ومن الأمثلة عليها: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، وهي بذلك الأعداد التي تمتلك عاملين فقط، هما: العدد نفسه، والعدد واحد، ويقصد بالتحليل إلى العوامل (بالإنجليزية: Prime Factorization) إيجاد الأعداد الأولية التي يساوي حاصل ضربها ببعضها العدد الأصلي المُراد تحليله إلى عوامله الأولية، وفي هذه العملية يتم دائماً تجاهل العدد (1)، وعدم اعتباره من العوامل الأولية.

ويجدر بالذكر هنا أن الأعداد التي تنتج من حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الأخرى ببعضها تُسمّى بالأعداد المركّبة (بالإنجليزية: Composite Number)، أما الأعداد الصحيحة التي تُصرب ببعضها للحصول على الأعداد المركّبة فتُعرف باسم العوامل (بالإنجليزية: Factors)، ويمكن لهذه العوامل أن تكون أعداداً أولية أو غير أولية.

الطريقة التقليدية للتحليل إلى العوامل الأولية

يتمّ فيها البدء بقسمة العدد على أصغر عدد أولي ممكن، أو على أي عدد أولي آخر يتم العثور عليه، ثم الاستمرار بالقسمة على الأعداد الأولية المتاحة حتى الوصول إلى آخر عدد أولي، وذلك حسب المثال الآتي:

• حلّل العدد 12 إلى عوامله الأولية.
  • القسمة على عدد أولي وهو العدد 2؛ لأن 12 عدد زوجي، وذلك كما يلي: 12/2=6، واعتبار العدد (2) أول عدد أولي للعدد (12).
  • العدد 6 ليس عدداً أولياً، لذا يجب قسمته أيضاً على عدد أولي آخر وهو العدد 2؛ لأن 6 عدد زوجي، وذلك حسب الآتي: 6/2=3، وهو عدد أولي، لذلك يجب التوقف هنا، واعتبار العددين 2،3 أعداداً أولية للعدد (12).
  • الأعداد الأولية للعدد 12 تكون على النحو الآتي: 2×2×3 = 12.
  • يمكن تمثيل ما سبق على النحو الآتي:

طريقة الشجرة للتحليل إلى العوامل الأولية

طريقة الشجرة (بالإنجليزية: Factor Tree)، وهي عبارة عن طريقة تستخدم مخطّطاً لتجزئة الأعداد بهدف الوصول إلى عواملها الأولية، وذلك بالعثور على عددين حاصل ضربهما هو العدد المطلوب تحليله، والاستمرار بتجزئة كل عدد غير أولي حتى الوصول إلى جميع الأعداد الأولية، وذلك كما يلي:

• حلّل العدد 24 إلى عوامله الأولية.
  • العثور على عددين حاصل ضربهما هو 24، وهما (2×12) مثلاً.
  • العدد 12 هو عدد غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 12، وهما (3×4) مثلاً.
  • العدد 4 هو عدد غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 4، وهما (2×2)، وهما عددان أوليان لذلك يجب التوقف هنا.
  • وبالتالي فإنّ الأعداد الأولية للعدد 24 هي: 3×2×2×2 = 24.
  • يمكن تمثيل ما سبق على النحو الآتي: 24 ← 2×12 ← 2×3×4 ← 2×3×2×2.

قواعد عند تحليل العدد إلى عوامله الأولية

ومن القواعد التي قد تساعد في العثور على الأعداد التي يمكن للعدد المطلوب تحليله القسمة عليها دون باقٍ ما يلي:

• إذا كان العدد زوجياً، فهو يقبل القسمة على (2) بالتأكيد.
• إذا كان خانة الآحاد للعدد المطلوب تحليله هي: (5،0)، فهو يقبل القسمة على (5) بالتأكيد.
• إذا كان مجموع جميع منازل العدد المطلوب تحليله يقبل القسمة على (3)، فهو يقبل القسمة على (3) بالتأكيد.
• في حال عدم قابلية العدد المطلوب تحليله القسمة على (2)، (3)، (5)، فيجب حينها البحث عن أعداد أولية أكبر مثل (7)، (11)، (13)، وهكذا حتى العثور على عدد يمكن للعدد المطلوب تحليله القسمة عليه دون باقٍ.

أمثلة متنوعة حول التحليل إلى العوامل الأولية

وفيما يأتي أمثلة متنوعة حول التحليل إلى العوامل الأولية:

مثال 1: حلّل العدد 35 إلى عوامله الأولية.

• الحل باستخدام الطريقة التقليدية:
  • نُلاحظ أن خانة الآحاد للعدد 35 تحتوي على العدد 5.
  • حسب القاعدة: إذا كانت خانة الآحاد للعدد المطلوب تحليله هي: (5،0)، فهو يقبل القسمة على (5) بالتأكيد، إذًا العدد 35 يقبل القسمة على 5.
  • وبالتالي العدد 5 أصغر عدد أولي ممكن أن نبدأ به، ولذلك العدد (5) أول عدد أولي للعدد (35).
  • نقسم العدد 35 على العدد الأولي 5: (35/5=7).
  • العدد 7 عددًا أوليًا، نتوقف هنا والعدد (7) ثاني عدد أولي للعدد 35.
  • وبالتالي الأعداد الأولية للعدد 35 هي: 5×7 = 35.
  • نُمثل الخطوات السابقة من خلال الجدول التالي:

• الحل باستخدام طريقة الشجرة:
  • نجد عددين نتيجة حاصل ضربهما تساوي 35.
  • وحسب القاعدة: إذا كان خانة الآحاد للعدد المطلوب تحليله هي: (5،0)، فهو يقبل القسمة على (5) بالتأكيد، فإنّ العدد 5 أحد هذين العددين بالتأكيد.
  • نُجرب 5×7 مثلًا، إذ نُلاحظ أنّ العددان هما عددان أوليان.
  • وبالتالي الأعداد الأولية للعدد 35 هي: 5×7 = 35.
  • 35 ← 5×7.

مثال 2: حلّل العدد 54 إلى عوامله الأولية.

• الحل باستخدام الطريقة التقليدية:
  • نُلاحظ أنّ العدد 54 عددًا زوجيًا، لذا نبدأ بأصغر عدد أولي ممكن وهو العدد 2، لأنّ القاعدة تقول: إذا كان العدد زوجيًا، فهو يقبل القسمة على (2) بالتأكيد.
  • نقسم العدد 54 على 2 كالتالي: 54/2= 27، واعتبار العدد (2) أول عدد أولي للعدد 54.
  • العدد 27 عدد غير أولي، لذا يجب قسمته أيضًا على عدد أولي آخر وهو العدد 3؛ لأنّ القاعدة تقول: إذا كان مجموع جميع منازل العدد المطلوب تحليله يقبل القسمة على (3)، فهو يقبل القسمة على (3) بالتأكيد.
  • مجموع الخانات للعدد 27 هي: 2 7=9، والعدد 9 يقبل القسمة على العدد 3، إذًا العدد 27 يقبل القسمة على العدد 3.
  • نقسم العدد 27 على العدد 3 كالآتي: 27/3= 9، واعتبار العدد (3) ثاني عدد أولي للعدد 54.
  • العدد 9 عدد غير أولي، لذا يجب قسمته أيضًا على عدد أولي آخر وهو العدد 3 كالتالي: 9/3=3، واعتبار (3) ثالث عدد أولي للعدد 54.
  • العدد 3 عدد أولي، نتوقف هنا، مع اعتبار (3) رابع عدد أولي للعدد 54.
  • وبالتالي الأعداد الأولية للعدد 54 هي: 2×3×3×3 = 54.
  • نُمثل الخطوات السابقة من خلال الجدول التالي:

• الحل باستخدام طريقة الشجرة:
  • نجد عددين نتيجة حاصل ضربهما يساوي 54، وهما (3×18) مثلاً.
  • العدد 3 عددًا أوليًا، لذا العدد 3 هو أول عدد أولي للعدد 54.
  • العدد 18 عدد غير أولي لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما 18 وهما (2×9) مثلًا.
  • العدد 2 عدد أولي، لذا العدد 2 ثاني عدد أولي للعدد 54.
  • العدد 9 عدد غير أولي، لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما العدد 9 وهما 3×3.
  • العددان 3 و3 عددان أوليان، لذا العددان 3 و3 هما ثالث ورابع أعداد أولية للعدد 54.
  • وبالتالي الأعداد الأولية للعدد 54 هي: 3×2×3×3 = 54.
  • 54 ← 3×18 ← 3×2×9 ← 3×2×3×3.

مثال 3: حلّل العدد 360 إلى عوامله الأولية.

• الحل باستخدام الطريقة التقليدية:
  • نُلاحظ أنّ العدد 360 عددًا زوجيًا، لذا نبدأ بأصغر عدد أولي ممكن له وهو العدد 2.
  • نقسم العدد 360 على 2 كالتالي: 360/2= 180، مع اعتبار العدد (2) أول عدد أولي للعدد 360.
  • العدد 180 عدد غير أولي، لذا يجب قسمته أيضًا على عدد أولي آخر وهو العدد 2؛ لأنّ العدد 180 عدد زوجي أيضًا.
  • نقسم العدد 180 على العدد 2 كالتالي: 180/2= 90، واعتبار العدد (2) ثاني عدد أولي للعدد 360.
  • العدد 90 عدد غير أولي، لذا يجب قسمته أيضًا على عدد أولي آخر وهو العدد 2، كالتالي: 90/2=45، مع اعتبار (2) ثالث عدد أولي للعدد 360.
  • العدد 45 عدد غير أولي، لذا يجب قسمته أيضًا على عدد أولي آخر وهو العدد 3 كالتالي: 45/3=15، مع اعتبار (3) رابع عدد أولي للعدد 360.
  • العدد 15 عدد غير أولي، لذا يجب قسمته أيضًا على عدد أولي آخر وهو العدد 3، كالتالي: 15/3=5، مع اعتبار (3) خامس عدد أولي للعدد 360.
  • العدد 5 عدد أولي، نتوقف هنا مع اعتبار العدد (5) سادس عدد أولي للعدد 360.
  • وبالتالي الأعداد الأولية للعدد 360 هي: 2×2×2×3×2×5 = 360.
  • نُمثل الخطوات السابقة من خلال الجدول التالي:

• الحل باستخدام طريقة الشجرة:
  • نجد عددين نتيجة حاصل ضربهما تساوي 360، وهما (5×72) مثلاً، نُلاحظ أنّ العدد 360 يبدأ بصفر في خانة الآحاد، وحسب القاعدة فإنّ العدد 360 يقبل القسمة على 5 بالتأكيد.
  • العدد 5 عددًا أوليًا، لذا العدد 5 هو أول عدد أولي للعدد 360.
  • العدد 72 عدد غير أولي لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما 72 وهما (2×36) مثلًا.
  • العدد 2 عدد أولي، لذا العدد 2 ثاني عدد أولي للعدد 360.
  • العدد 36 عدد غير أولي، لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما العدد 36 وهما (2×18).
  • العدد 2 عدد أولي، لذا العدد 2 ثالث عدد أولي للعدد 360.
  • العدد 18 عدد غير أولي، لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما العدد 18 وهما (2×9).
  • العدد 2 عدد أولي، لذا العدد 2 رابع عدد أولي للعدد 360.
  • العدد 9 عدد غير أولي، لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما العدد 9 وهما (3×3).
  • العددان 3 و3 عددان أوليان، لذا العددان 3 و3 هما رابع وخامس أعداد أولية للعدد 360.
  • وبالتالي الأعداد الأولية للعدد 360 هي: 5×2×2×2×3×3 = 360.
  • 360 ← 5×72 ← 5×2×36 ← 5×2×2×18 ← 5×2×2×2×9 ← 5×2×2×2×3×3

مثال 4: حلّل العدد 509 إلى عوامله الأولية.

• الحل: إذا لم نستطيع تحديد أن العدد الكبير هو عدد أولي أم لا نتبع الخطوات التالية:
  • نُطبق جميع القواعد عليه إذا حقق أحد القواعد فهو عدد غير أولي ويجب تحليله.
  • إذا لم يُحقق أي قاعدة من القواعد نأخذ الجذر التربيعي للعدد، ثم نُقسم العدد على جميع الأعداد الأولية التي تقل عن قيمة الجذر التربيعي.
  • إذا قبل العدد القسمة على أي عدد أولي أقل من قيمة الجذر التربيعي، فهو عدد ليس أوليًا ويجب تحليله إلى عوامله الأولية.
  • إذا لم يقبل العدد القسمة على أي عدد أقل من قيمة الجذر، إذًا العدد أولي ولا يُمكن تحليله.
• نتحقق فيما إذا كان العدد 509 عددًا أوليًا أم لا:
  • نبدأ بأول خطوة: نُلاحظ أن العدد 509 ليس عددًا زوجيًا، ولا ينتهي بصفر أو 5، كما أن مجموع جميع خاناته يساوي 14، والعدد 14 لا يقبل القسمة على 3.
  • نأخذ الجذر التربيعي للعدد 509: (509√ = 22.56).
  • نُجرب قسمة العدد 509 على جميع الأعداد الاولية التي تقل عن 22.56:
  • 509÷2= 254.5، لا يقبل القسمة على 2.
  • 509÷3= 169.66، لا يقبل القسمة على 3.
  • 509÷5= 101.8، لا يقبل القسمة على 5.
  • 509÷7= 72.71، لا يقبل القسمة على7.
  • 509÷11= 46.27، لا يقبل القسمة على 11.
  • 509÷13= 39.15، لا يقبل القسمة على 13.
  • 509÷17= 29.9، لا يقبل القسمة على 17.
  • 509÷19= 26.78، لا يقبل القسمة على 19.
  • نُلااحظ أنّ العدد لم يقبل القسمة على أي عدد أولي أقل من 22.56.
  • وبالتالي العدد 509 عددًا أوليًا لا يُمكن تحليله.

العوامل الأولية هي عبارة عن أعداد صحيحة تكون أكبر من الرقم واحد، ولا تقبل القسمة إلّا على نفسها وعلى واحد، وبالتالي تمتلك عاملين فقط وهما: العدد واحد، والعدد الصحيح نفسه، ولذلك تُحلل الأعداد غير الأولية إلى عواملها الأولية بحيث إذا ضُربت جميع العوامل ببعضها البعض يكون الناتج هو عدد غير أولي.

ويُمكن تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية بطريقتين وهما: الطريقة التقليدية التي تعتمد على البدء بأصغر عدد أولي يقبل العدد القسمة عليه، ثم الاستمرار بالقسمة لإيجاد جميع الأعداد الأولية المتبقية، وطريقة الشجرة التي تعتمد على البدء بإيجاد عددين حاصل ضربهما العدد المراد تحليله، ثم الاستمرار بنفس الخطوات لإيجاد الأعداد الأولية المتبقية.