بحث عن تشابه المثلثات

تعريف تشابه المثلثات

يُمكن تعريف تشابه المثلثات (بالإنجليزية: Triangle similarity) على أنه إحدى العلاقات التي تربط المثلثات ببعضها، حيث تكون الزاويا المتقابلة في المثلثين المتشابهين متساوية في كلّ منهما، والأضلاع متناسبة، وهو يختلف عن تطابق المثلثات (بالإنجليزية: Congruence) الذي يجب أن تكون فيه أطوال الأضلاع متساوية في كلا المثلثين إضافة إلى تساوي الزوايا.

ويعني تشابه المثلثات أن لها نفس الشكل ولكن أضلاعها تكون بأطوال مختلفة، وكما ذُكر سابقاً تكون أطوال الأضلاع في المثلثات المتشابهة متناسبة؛ فإذا كان المثلث أب ج يشابه المثلث دهـ و مثلاً؛ فإن: (أب/دهـ)=(أج/دو)=(ب ج/هـ و)، ويمكن تلخيص ما سبق بأنّ:

• تطابق المثلثات: يعني أن المثلثين لهما نفس الشكل ونفس الحجم، ويُرمز له بالرمز (≅).
• أما تشابه المثلثات: فيعني أن المثلثين لهما نفس الشكل فقط، ويُرمز له بالرمز (∽).

حالات تشابه المثلثات

تتشابه المثلثات في الحالات الآتية:

تطابق الزوايا (AA)

يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان متناظرتان في كليهما (زاوية، زاوية).

تناسب جميع الأضلاع (SSS)

يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما (ضلع، ضلع، ضلع)، وإذا كانت الأضلاع الثلاثة للمثلثين متساوية فإن المثلثين متطابقان وليسا متشابهين.

ضلعان وزاوية محصورة بينهما (SAS)

يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث مع قياس زاوية من مثلث آخر وتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية (ضلع، زاوية، ضلع)؛ فمثلاً يتشابه المثلث أب ج مع المثلث دهـ و إذا كانت إحدى الزاويتين المتقابلتين متساويتين مثل: (أ = د)، وكانت أطوال الأضلاع المتقابلة والتي تضم هذه الزوايا متناسبة (أب/دهـ = أج/دو)، ليترتب على ذلك أن جميع الزوايا المتناظرة متطابقة وأن أطوال جميع الجوانب المتبقية متناسبة.

حالات أخرى قد تتشابه فيها المثلثات

هناك بعض الحالات التي قد يتناسب فيها ضلعان من أحد المثلثات مع ضلعين مقابلين لهما من مثلث آخر، كما يتساوى قياس زاوية فيه (غير محصورة بين الضلعين المتناسبين) مع قياس زاوية أخرى في المثلث الآخر، وهي الحالة التي تُعرف بـ: (ضلع، ضلع، زاوية)، أو (زاوية، ضلع، ضلع) وهي لا تُثبت تشابه المثلثين العادية، إلا أنها تُثبت تشابه المثلثين في بعض الحالات الخاصة مثل المثلثات قائمة الزاوية.

حالات تشابه المثلثات قائمة الزاوية

إضافة لما سبق تتشابه المثلثات قائمة الزاوية؛ وهي إحدى أنواع المثلثات ، في الحالات الآتية:

• التشابه بالزاوية الحادّة: عند تطابق زاوية حادة من مثلث قائم مع زاوية حادّة أخرى من مثلث قائم آخر، فإن المثلثين متشابهان بالاعتماد على حالة التشابه (زاوية، زاوية).
• التشابه بالساقين: إذا كانت أطوال السيقان المتقابلة متناسبة لمثلثين قائمي الزاوية؛ فإن المثلثين متشابهان بالاعتماد على حالة التشابه (ضلع، زاوية، ضلع).
• التشابه بالوتر والساق: إذا كانت النسبة بين أطوال الوترين تساوي النسبة بين أطوال إحدى الساقين في مثلثين قائمي الزاوية، فإن المثلثين متشابهان.

بعض النظريات المتعلقة بتشابه المثلثات

من النظريات المتعلّقة بتشابه المثلثات ما يأتي:

• إذا وازى مستقيم أحد أضلاع مثلث و قطع ضلعيه الآخرين فإنه يقسم هذين الضلعين إلى أجزاء متناسبة، ويكون المثلث الناتج مشابهاً للمثلث الأصلي.
• إذا تشابه مثلثان فإن النسبة بين مساحتي المثلثين تتناسب مع مربع النسبة بين الضلعين؛ فمثلاً إذا كان المثلث أب ج والمثلث دهـ ومتشابهين؛ فإنّ: (مساحة ∆أب ج/ مساحة ∆ دهـ و)=(أب/دهـ)²=(ب ج/هـ و)² =(أج/دو)²، ومساحة المثلث هي: ½×طول القاعدة×الارتفاع، ويُمكن توضيح هذه النظرية بمثال عملي كالآتي:
  • إذا كان المثلثان ∆أب ج، ∆أدهـ متشابهين، وكان أد=5سم، وكان دب=10سم، وكان ب ج=20سم، فما هي النسبة بين مساحة كلّ من المثلثين ∆أب ج، ∆أدهـ؟
  • بما أن الزاوية دأهـ زاوية مشتركة بين المثلثين، والزاويتان أدهـ=أب ج لأنها زوايا متناظرة، فإن المثلثين متشابهان (∆أب ج ∽ ∆أدهـ) بالاعتماد على حالة التشابه بالزوايا (زاوية، زاوية).
  • التعويض في القانون: (مساحة ∆أب ج/ مساحة ∆أدهـ)=(أب/أد)²= ((5 10)/5)²=(3)²=9.

أمثلة حول تشابه المثلثات

يُمكن أن تختلف المثلثات المتشابهة بالمساحة، فالفكرة من التشابه هي التشابه في الشكل فقط والتناسُب بين الأضلاع، وفيما يأتي بعض الأمثلة حول تشابه المثلثات لتوضيح ذلك:

مثال 1: إذا علمت أنّ المثلث (أ ب ج)، يُشابه المثلث (هـ و د) فتحقّق من تطابُق المثلّثين أيضًا إذا كانت أطوال الأضلاع كالآتي: أب= 5 سم، ب ج= 3 سم، ج أ= 2 سم، هـ و= 5 سم، ود= 3 سم، دهـ= 2 سم.

الحل:

• حساب النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلّثين.
• 5/5= 1، 3/3= 1، 2/2= 1.
• بما أنّ النسبة بين كل ضلعين متناظرين تكافئ 1، فيمكن القول بأنّ المثلثين متطابقان.

مثال 2: إذا كانت أطوال أضلاع مثلث ما؛ 8 سم، 10 سم، 6 سم، وكانت أطوال أضلاع مثلث آخر؛ 4 سم، 5 سم، 8 سم، فهل يمكن القول بأنّهما متشابهان؟

الحل:

• حساب النسبة بين أطوال الأضلاع في المثلّثين.
• 8/4= 2، 10/5= 2، 8/6= 4/3.
• بما أنّ النسبة بين الأضلاع غير متساوية فالمثلثين غير متشابهين.

مثال 3: إذا كانت زوايتي مثلث بالدرجات (98، 44)، وكان قياس زاويتي مثلث آخر (38،98)، فهل المثلثين متشابهين؟

الحل:

• الزاوية 98 هي زاوية متطابقة بين المثلثين، مما يعني إمكانية إثبات تشابهما من خلال تطابق زاوية أخرى.
• حساب الزاوية الثالثة للمثلث الأول، 180- (98 44)= 38، ( فمن خصائص المثلثات أن مجموع زواياها 180 درجة ).
• وبذلك تكون الزاوية 38 زاوية أخرى متطابقة بين المثلثين، وهذا يكفي للقول بأنّهما متشابهان.

مثال4: إذا كان طول ضلعين في مثلث ما (5 سم، 4 سم) وكان قياس الزاوية المحصورة بينهما 30 درجة، وكان طول الوتر في مثلث قائم الزاوية 10 سم، وطول ضلع آخر 8 سم، وكان قياس زاويته المقابلة للضلع 8 سم هي 60 درجة، فأثبت أنّ المثلثين متشابهان.

الحل:

• بما أنّ قياس إحدى زوايا المثلث القائم 30 درجة، فيمكن حساب زوايا المثلث الأخرى (180-(60 90)= 30 درجة).
• الزاوية 30 هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (8 سم، والوتر 10 سم)، ويمكن التحقّق من ذلك بالرسم.
• النسبة بين الأضلاع المتناظرة في المثلثات كما يأتي: 10/5= 2، 8/4= 2، وبذلك يمكن القول بأنّ الضلعين المتناظرين متناسبين.
• يمكن ملاحظة تطابق الزاوية المحصورة بين الضلعين المتناظرين المتناسبين، وقياسها 30 في كلّ منهما.
• إذًا فالمثلثان متشابهان بتناسب ضلعين وزاوية محصورة بينهما.

مثال5: إذا كان قياس إحدى زوايا مثلث قائم الزاوية يساوي 40 درجة، ووُجد مثلث قائم آخر فيه زاوية حادة بنفس القياس 40 درجة، فما العلاقة بين المثلّثين؟

الحل:

بما أنّ المثلثين قائمان فيكفي وجود زاوية حادة واحدة متساوية في القياس في كل منهما، وبذلك يكون المثلثان متشابهين.

مثال6: إذا كان طول ساقي مثلث قائم الزاوية 12 سم، 5 سم، ووُجد مثلث قائم آخر فيه طول الساقين 6 سم، 8 سم، فهل المثلثين متشابهين؟

الحل:

• يكفي تساوي النسبة بين طولي ساقين في المثلثات قائمة الزاوية للقول بأنّهما متشابهان.
• 12/6= 2، 5/8= 0.625.
• 2 ≠ 0.625 وبذلك فالمثلثان غير متشابهين.

مثال7: إذا كان قياس زاويتين في مثلث ما (50، 70) درجة، ووُجد مثلث آخر فيه قياس زاويتين (60،70) درجة، فكيف يمكن التحقّق من تشابهمها؟

الحل:

• الزاوية 70 متطابقة في المثلثين، ومنه يمكن إثبات التشابه من خلال إيجاد زاوية أخرى متطابقة.
• في المثلث الأول، قياس الزاوية الأخيرة= 180- (50 70)= 60 درجة.
• وبذلك يكون المثلثان متشابهين بتساوي قياس زاويتين هما: 70، 60.

مثال8: إذا كانت طول ضلعين في مثلث ما 15 سم، 21 سم، وكانت الزاوية بينهما 75 درجة، وكانت أطوال أضلاع مثلث آخر 10 سم، 14 سم والزاوية المحصورة بينهما 75 درجة أيضًا، فهل المثلثين متشابهين؟

الحل:

• يمكن إثبات تشابه المثلثين بالاعتماد على تناسب ضلعين وتطابق الزاوية المحصورة بينهما.
• 15/10= 3/2، 21/14= 3/2.
• بما أنّ النسبة بين ضلعين متناظرين هي 3/2، والزاوية بين الضلعين 75 درجة، إذًا فالمثلثين متشابهين.

يُمكن القول بأنّ المثلثين متشابهان إذا تطابقت فيهما زاويتين، أو كانت النسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية، أو تناسب فيهما ضلعين وتطابقت الزاوية المحصورة بينهما، كما يُمكن إثبات تشابه المثلثات القائمة بشروط أقل وذلك بسبب معرفة إحدى الزوايا وهي 90 درجة.