المنطق في الرياضيات
إن موضوع المنطق في الرياضيات (بالإنجليزية: logic in mathematics) يعنى بدراسة والحصول على الحقيقة العلمية الرياضية من خلال الاستنتاج الرياضي ، وهي اللغة الأساسية للرياضيات ، والمبدأ الأساسي للإثبات والبراهين، والبديهيات وكل ما يختص بالأعداد واللانهائية وغيرها من مواضيع الرياضيات، ويعتبر المنطق في الرياضيات علماً متخصصاً بحد ذاته، يتم تدريسه في المدارس والجامعات، ويرتبط بعلوم أخرى كالفيزياء والفلسفة والهندسة وعلوم الحاسوب.
تاريخ المنطق في الرياضيات
ظهر المنطق في الرياضيات منذ آلاف السنين، فقد استخدمه المصريون القدماء في البناء والعمارة، كما اعتمد عليه علماء الفلك البابليين وتطور بشكل مستقل في الهند والصين، وبعد قرون من الزمن، ظهرت مجموعات من علماء الرياضيات و الفلاسفة اليونانيين الذين اهتموا بالوصول إلى الحقائق الرياضية، فحاولوا تطوير نظام معتمد للمنطق والاستنتاج الرياضي.
أيضاً وُرثت الكثير من أفكار ونظريات أفلاطون وأرسطو وغيرهم عبر العصور الوسطى، ليعاد دراستها من قبل علماء آخرين مثل القديس توما الأكويني والعديد من علماء الرياضيات العرب، وكان جوتفريد لايبنيز من أوائل علماء الرياضيات الذين استخدموا اللغة الرمزية للمنطق الرياضي، كالذي نستخدمه في أيامنا هذه.
أمثلة على قوانين المنطق في الرياضيات
فيما يلي ذكر لبعض قوانين المنطق في الرياضيات، والتي يظهر فيها استخدام الرموز والعلاقات الرياضية المنطقية المختلفة بين الرموز، وقد يظهر للوهلة الأولى أن هذه العلاقات المنطقية بديهية، إلا أن البعض الآخر يحتاج للقليل من التركيز للفهم التام لها:
القوانين التبادلية (Commutative Laws)
القوانين التبادلية في الرياضيات هي كما يأتي:
- إذا كانت س ∨ ص فإنها رياضياً تعادل ص ∨ س.
- إذا كانت س ∧ ص فإنها رياضياً تعادل ص ∧ س.
القوانين التجميعية (Associative Laws)
القوانين التجميعية في الرياضيات هي كما يأتي:
- إذا كانت س ∨ ص ∨ ع فإنها رياضياً تعادل ( س ∨ ص ) ∨ ع.
- إذا كانت س ∧ ص ∧ ع فإنها رياضياً تعادل ( س ∧ ص ) ∧ ع.
القوانين التطابقية (Identity Laws)
القوانين التطابقية في الرياضيات هي مما يأتي:
- إذا كانت س ∨ 0 فإنها رياضياً تعادل س.
- إذا كانت س ∧ 1 فإنها رياضياً تعادل 1.
القوانين التوزيعية (Distributive Laws)
القوانين التوزيعية في الرياضيات هي كما يأتي:
- إذا كانت س ∧ ( ص ∨ ع ) فإنها رياضياً تعادل ( س ∧ ص ) ∨ ( س ∧ ع )
- إذا كانت س ∨ ( ص ∧ ع ) فإنها رياضياً تعادل ( س ∨ ص ) ∧ ( س ∨ ع )
قوانين ديمورغان (DeMorgan Distributive Laws)
قوانين ديمورغان في الرياضيات هي كما يأتي:
- ¬ ( س ∨ ص ) فإنها رياضياً تعادل ¬ ( س ) ∧ ¬ ( ص )
- ¬ ( س ∧ ص ) فإنها رياضياً تعادل ¬ ( س ) ∨ ¬ ( ص )
حيث إن:
- ∨ تعني: أو، أي أن ( س ∨ ص ) تعادل: س أو ص
- ∧ تعني: وَ، أي أن ( س ∧ ص ) تعادل: س وَ ص
- ¬ تعني: ليس، أي أن ( ¬ ص ) تعادل: ليس ص
