ما هي المثلثات المتطابقة؟
يُعرّف المثلث بأنّه شكل ثنائي الأبعاد يتكون من 3 أضلاع، و3 زوايا، و3 رؤوس، ويكون المثلثان متطابقان عندما يكون لهما نفس الشكل والحجم، بحيث تكون أضلاعهما المتقابلة متطابقة، أو زواياهما المتقابلة متطابقة.
ويُرمز لتطابق المثلثات بالرمز (≅)؛ مثال: Δأ ب جـ ≅ Δد هـ و، ويُعبر عنه بالاختصار (CPCT) وهو اختصار لـ (Corresponding Parts of Congruent Triangles) أي الأجزاء المتقابلة في المثلثات متطابقة.
حالات المثلثات المتطابقة
يكون المثلثان متطابقان عندما تتحقق إحدى الحالات الآتية:
تطابق أطوال أضلاع المثلث الثلاثة
يتطابق المثلثان عندما تكون أطوال أضلاع المثلث الأول تساوي أطوال الأضلاع المتناظرة لها في المثلث الثاني، ويُرمز لهذه الحالة بالرمز (SSS: Side-Side-Side)، وعندما يتطابق المثلثان لتساوي أضلاعهما، فإنّه لابد أن تتساوى أيضًا زواياهما المتقابلة.
تطابق طول ضلعين وقياس الزاوية بينهما
يتطابق المثلثان إذا كان طول الضلعين وقياس الزاوية بينهما في المثلث الأول متساويًا مع طول الضلعين المقابلين لهما وقياس الزاوية بينهما في المثلث الثاني، ويُرمز لهذه الحالة بالرمز (ASA: Angle-Side-Angle).
وفقًا لهذه الحالة، فإنّه لابد أن يتساوى الضلع الثالث، وقياس الزاويتين الأخريين في المثلث الأول مع الضلع الثالث وقياس الزاويتين الأخريين في المثلث الثاني.
تطابق قياس زاويتين مع طول الضلع المشترك بينهما
يتطابق المثلثان إذا كان قياس أي زاويتين مع طول الضلع بينهما في المثلث الأول مساويًا لنفس الزاويتين المتقابلتين في المثلث الثاني مع طول الضلع بينهما، ويُرمز لهذه الحالة بالرمز (ASA: Angle-Side-Angle).
ووفقًا لهذه الحالة، فإنّه لابد أن تتساوى قياس الزاوية الثالثة وطول الضلعين الآخرين في المثلث الأول مع قياس الزاوية الثالثة وطول الضلعين الآخرين في المثلث الثاني.
تطابق قياس زاويتين مع طول الضلع المقابل لإحدى هاتين الزاويتين
يتطابق المثلثان إذا كان قياس زاويتين، وطول الضلع المقابل لأحد هذه الزوايا من المثلث الأول متساويًا مع قياس الزاويتين المتقابلتين في المثلث الثاني مع طول الضلع المقابل لأحد هذه الزوايا، ويُرمز لهذه الحالة بالرمز (AAS: Angle-Angle-Side Criterion).
ووفقًا لهذه الحالة، فإنّه لابد أن تتساوى قياس الزاوية الثالثة، وطول الضلعين الآخرين في المثلث الأول مع قياس الزاوية الثالثة وطول الضلعين الآخرين في المثلث الثاني.
تطابق طول وتر المثلث وطول أحد الأضلاع
يتطابق المثلثان إذا كان طول الوتر في مثلث قائم الزاوية الأول وأحد أضلاعه متساويًا مع طول وتر مثلث قائم الزاوية الثاني وأحد أضلاعه، ويُرمز لهذه الحالة بالرمز (RHS: right angle-hypotenuse-side).
وفقًا لهذه الحالة فإنّه لابد أن يتساوى طول الضلع الثالث، وقياس الزاويتين الأخريين في المثلث الأول مع الضلع الثالث، وقياس الزاويتين الأخريين في المثلث الثاني.
خصائص المثلثات المتطابقة
تمتلك المثلثات المتطابقة عدّة خصائص، وهي كما يأتي:
- إذا تطابق مثلثان، فإنّ جميع أطوال أضلاع وقياس زوايا المثلث الأول تساوي المثلث الثاني، وبالتالي فإنّه يُمكن إيجاد قياس طول ضلع مجهول، أو زاوية مجهولة في أحد المثلثين بناءً على المثلث الآخر.
- إذا تطابق مثلثان، فإنّ جميع خصائص المثلث الأول تُماثل خصائص المثلث الثاني، بما في ذلك مساحة المثلث، ومحيطه ، ومركز المثلث، والدوائر المرتبطة به، وغيرها.
تمارين على المثلثات المتطابقة
فيما يأتي تمارين على المثلثات المتطابقة:
المثال الأول: إذا علمتَ أنّ أطوال أضلاع المثلث أ ب جـ هي: أب= 4 سم، وب جـ= 5 سم، وجـ أ= 6 سم، وأطوال أضلاع المثلث د هـ و هي: د هـ= 4 سم، وهـ و= 5 سم، وو د= 6 سم، هل المثلث أ ب جـ يطابق المثلث د هـ و؟
الحل:
نستنتج من المعطيات بأنّ:
- طول الضلع أ ب= طول الضلع د هـ = 4 سم.
- طول الضلع ب جـ= طول الضلع هـ و= 5 سم.
- طول الضلع جـ أ= طول الضلع و د= 6 سم.
وبما أنّ جميع أطوال أضلاع المثلث أ ب جـ متساوية مع جميع أطوال أضلاع المثلث د هـ و؛ فإنّ المثلثين متطابقين وذلك، وفقًا للحالة الأولى من حالات تطابق المثلثات.
المثال الثاني: إذا علمتَ أنّ المثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب يُطابق المثلث هـ و د القائم الزاوية في و، وطول الضلع أ ب= 3 سم، والضلع ب جـ= 4 سم، والضلع أ جـ = 5 سم، فما هو طول وتر المثلث هـ و د؟
الحل:
- بما أنّ المثلثين متطابقين، فإنّ جميع أطوال أضلاعهما متساوية، وبالتالي فإنّ طول الوتر في المثلث أ ب جـ يساوي طول الوتر في المثلث هـ و د.
- ومنه: الوتر أ جـ = الوتر هـ د = 5 سم.
المثال الثالث: إذا علمتَ أنّ في المثلث أ ب جـ طول الضلع أب= 7 سم، وب جـ= 8 سم، وقياس الزاوية ب = 60 درجة، وفي المثلث د هـ و طول ضلع د هـ= 7 سم، وهـ = 8 سم، وقياس الزاوية هـ = 60 درجة، هل المثلث أ ب جـ يطابق المثلث د هـ و؟
الحل:
نستنتج من المعطيات بأنّ:
- طول الضلع أ ب= طول الضلع د هـ = 7 سم.
- طول الضلع ب جـ= طول الضلع هـ و= 8 سم.
- ∠ب = ∠هـ = 60 درجة.
وبما أنّ طول الضلعين وقياس الزاوية بينهما في المثلث أ ب جـ متساوية مع طول الضلعين وقياس الزاوية بينهما في المثلث د هـ و؛ فإنّ المثلثين متطابقين بضلعين وزاوية.
المثال الرابع: إذا علمتَ أنّ قياس الزوايا في المثلث أ ب جـ هي: ∠ب= 90 درجة،∠أ= 60 درجة،∠جـ= 30 درجة، والمثلث أ ب جـ القائم الزاوية في ب يُطابق المثلث د هـ و القائم الزاوية في هـ فما هو قياس زوايا المثلث د هـ و؟
الحل:
بما أنّ المثلثين متطابقين فإنّ جميع زواياهما متساوية وبالتالي فإنّ:
- ∠أ = ∠د = 60 درجة.
- ∠ب = ∠هـ = 90 درجة.
- ∠جـ = ∠و = 30 درجة.
المثال الخامس: إذا علمتَ أنّ في المثلث (أ ب جـ) طول الضلع ب جـ= 12 سم، و∠ب = 60 درجة، و∠جـ = 30 درجة، وفي المثلث (د هـ و) طول ضلع هـ و= 12 سم، و∠هـ = 60 درجة، و∠و = 30 درجة، هل المثلث أ ب جـ يطابق المثلث د هـ و؟
الحل:
نستنتج من المعطيات بأنّ:
- طول الضلع ب جـ= طول الضلع هـ و = 12 سم.
- ∠ب = ∠هـ = 90 درجة.
- ∠جـ = ∠و = 30 درجة.
وبما أنّ قياس الزاويتين مع طول الضلع بينهما في المثلث أ ب جـ متساوية مع قياس الزاويتين مع طول الضلع بينهما في المثلث د هـ و؛ فإنّ المثلثين متطابقين.
