الفرق بين المعادلة التفاضلية العادية والجزئية

الفرق بين المعادلة التفاضلية العادية والجزئية

يستخدم التفاضل الجزئي للتمييز بين الاقترانات الرياضية التي تحتوي على أكثر من متغير واحد، بينما في التفاضل العادي نجد مشتقاً فيما يتعلق بمتغير واحد فقط، حيث يحتوي الاقتران على متغير واحد فقط، لذلك يمكن اعتبار التفاضل الجزئي أكثر شمولية من التفاضل العادي، وأنّ المعادلات التفاضلية العادية تعد نوعاً معيناً من المعادلات التفاضلية الجزئية، حيث يستخدم التفاضل الجزئي لإيجاد القيم القصوى والدنيا.

يوجد عدة أنواع وأشكال من المعادلات التفاضلية (بالإنجليزية: Differential equations)، ويمكن اختصارها ب (DEs)، ويمكن حل هذه الأنواع المختلفة من المعادلات التفاضلية باستخدام طرق مختلفة. يمكننا تصنيف المعادلات التفاضلية على أنها:

• معادلات تفاضلية عادية (بالإنجليزية: Ordinary differential equations)
• معادلات تفاضلية جزئية (بالإنجليزية: Partial differential equations)

ويمكن تمييزها أيضاً عن طريق رتبتها بشكل أكبر. ونستطيع حل المعادلة التفاضلية عن طريق إيجاد قيمة المتغير التابع من حيث المتغير المستقل.

المعادلات التفاضلية العادية

تعرّف المعادلة التفاضلية العادية (يمكن اختصارها ب: ODE) بأنها معادلة تفاضلية تعتمد على متغير مستقل واحد فقط، أي لها مشتقات من متغير واحد فقط، بمعنى آخر، أنها لا تحتوي على مشتقات جزئية، على سبيل المثال المعادلة التالية: dy/dx = ky (t)، هي معادلة تفاضلية عادية لأن y (المتغير التابع) تعتمد فقط على t (المتغير المستقل).

المعادلات التفاضلية الجزئية

تعرّف المعادلة التفاضلية الجزئية (يمكن اختصارها ب: PDE) بأنها هي معادلة تفاضلية يعتمد فيها المتغير التابع على متغيرين مستقلين أو أكثر، أي تحتوي المعادلة التفاضلية الجزئية على مشتق جزئي واحد على الأقل، على سبيل المثال المعادلة التالية؛ معادلة لابلاس؛

δ^2f/δx^2 δ^2f/δy^2 = 0 

هي معادلة تفاضلية جزئية لأن f تعتمد على متغيرين مستقلين x و y.

أمثلة توضيحية على المعادلات التفاضلية العادية

فيما يلي بعض الأمثلة التوضيحية على المعادلات التفاضلية العادية:

• dy/dx = sinx e^y
• d^2y/dx^2 10dy/dx 9y = 0
• d^4y/dx^4 d^3y/dx^3 d^2y/dx^2 dy/dx y = cosx

وتنقسم بشكل عام إلى الأنواع التالية:

• المعادلة التفاضلية العادية الخطية المتجانسة

y′′ 4y′ − 3y = 0

• المعادلة التفاضلية العادية الخطية غير المتجانسة

y′′ − 3y = cos(x)

• نظام المعادلات التفاضلية العادية

x′ 3y=3t,3x 4y′=4t^2 

أمثلة توضيحية على المعادلات التفاضلية الجزئية

فيما يلي بعض الأمثلة التوضيحية على المعادلات التفاضلية الجزئية:

• δu/δx δu/δy u = e^(x-y)
• 3(δu/δx^2) 7(δu/(δxδy)) 6(δu/δy^2) = 0
• δv/δt - k(δv/δx^2) = v

من الأمثلة على هذه المعادلات:

• معادلة الحرارة في الفضاء أحادي البعد

ut − αuxx = 0 

• معادلة الموجة في الفضاء أحادي البعد

utt − c^2uxx = 0

• معادلة لابلاس في فضاء البعد n

... Δu = 0 where Δu = uxx uyy uzz 

• معادلة الحرارة في فضاء البعد n

ut − αΔu = 0

• معادلة الموجة في فضاء البعد n

utt − c^2Δu = 0