الدالة التربيعية

الدالة التربيعية

الدالة التربيعية تعبير جبري متعدد الحدود ، ذات متغير واحد أو أكثر، يكون فيها الأس الأعلى للمتغير من الدرجة الثانية، ويمكن كتابتها بالصورة العامة كالتالي:

ق(س) = أ × س² ب ×س ج.

حيث تمثل الأعداد أ , ب , ج ثوابت المعادلة وهي أعداد حقيقية، وهنا أ لا تساوي صفرًا.

رأس الدالة التربيعية

شكل رأس الدالة التربيعية هو:

ص = أ × (س - هـ )2  ك

حيث تمثل أ , هـ , ك أعداد حقيقية و أ لا تساوي صفرًا .

حيث أن:

هـ = - (ب \ 2 أ )

ك = ق (هـ )

وإذا كانت إشارة أ موجبة فهو الحد الأدنى للرأس، وأما إذا كان سالبًا فهو أقصى قمة.

المجال والمدى للدالة التربيعية

مجال الدالة التربيعية هو قيم س التي تجعل الدالة محددة، ومدى الدالة التربيعية هو قيم ص التي تحققها الدالة عن طريق تعويض قيم س المختلفة.

وبتوضيح أكثر فالمجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ح ويمكن كتابتها بالصورة (-∞، ∞)، أما مدى الدالة التربيعية فهو يعتمد على جوانب المنحنى ورأسه، لذلك نبحث عن قيم ق (س) الأدنى و الأعلى في الرسم البياني .

طرق حل الدالة التربيعية

هناك ثلاثة طرق لحل المعادلة التربيعية وهي؛ عن طريق التحليل أو باستخدام القانون العام أو بإكمال المربع، والجدير بالذكر أن الدالة التربيعية لها جذور قد تكون هذه الجذور حقيقية أو خيالية، وفيما يلي تفصيل لتلك الطرق:

طريقة التحليل

وبهذه الطريقة يتم وضع جميع الحدود من جانب واحد وترك الصفر بعد إشارة المساواة من الجانب الاخر، ثم تحليل المعادلة إلى عواملها، ثم حل المعادلة.

مثال: حل المعادلة التالية س² - 6 س = 16

الحل:

1. ضع جميع الحدود من جانب واحد واترك الصفر في الجانب الآخر بعد إشارة المساواة لتصبح المعادلة بالشكل التالي: س² - 6 س - 16 = 0
2. حلل الدالة التربيعية إلى العوامل: (س -8) (س 2) = 0
3. حل كل عامل لوحده عن طريق مساواته بالصفر: (س - 8 )= 0 أو ( س 2 )= 0
4. ومنه؛ س = 8، وس = - 2
5. يتم التحقق من الحلول بتعويضها في المعادلة الاصلية، وبالتالي (8 , -2) تعتبر حلولًا للدالة التربيعية س² - 6 س = 16.

باستخدام القانون العام

نلجأ إلى استخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية س = ((- ب) ± (ب×2 - 4 ×أ × ج)1/2)) / (2 × أ)، وذلك عندما تكون جذور المعادلة أرقام غير منطقية، وهنا الثوابت ,أ , ب ,ج، أرقامًا مأخوذة من المعادلة التربيعية في شكلها أ × س² ب× س ج = 0.

ومن الضروري أيضًا الانتباه إلى المميز (ب×2 - 4 ×أ × ج)1/2) اذا كان يساوي صفرًا، فهناك جذر حقيقي واحد، أما إذا كان موجبًا فهناك جذرين حقيقين مختلفين، وأما إذا كان سالبًا فلا يوجد جذر حقيقي.

مثال: حل المعادلة التربيعية : س² - 5 س = - 6.

الحل:

1. ضع كافة المتغيرات في جابب واحد وساويها بالصفر: س² - 5 س- 6 = 0
2. استخدم القانون العام: س = ((- ب) ± (ب×2 - 4 ×أ × ج)1/2)) / (2 × أ).
3. س = ((-5) ± ( 5 × 2 - 4 × (1) × 6)1/2) \ (2 × (1))
4. س = (5 ± 1) \ 2
5. ومنه؛ س =3 أو س = 2.
6. وبالتالي 3 ,2 تعتبران حلًا للمعادلة التربيعية، وهنا يجب الانتباه إلى أن المميز موجبًا، لذا كان هناك حلان للدالة التربيعية.

بطريقة إكمال المربع

لحل المعادلات التربيعية التي تعمل مع الجذور الحقيقية والخيالية بطريقة إكمال المربع نتبع الخطوات الآتية:

1. وضع المعادلة بصورة : أ × س² ب×س = - ج
2. التأكد هنا بأن معامل س² هو 1، وإذا لم يكن كذلك نقوم بضرب طرفي المعادلة ب( 1\ أ ) قبل البدء بالحل.
3. إضافة ( ب \ 2 )² لطرفي المعادلة لتكوين مربع كامل.
4. إيجاد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة.
5. حل المعادلة.

مثال: حل الدالة التربيعية التالية : س² - 6 س 5 =0

الحل:

1. ضع الدالة التربيعية بصورة: س² - 6 س = - 5
2. تأكد من أن معامل س² هو 1.
3. أضف قيمة (ب /2 )² إلى طرفي المعادلة وهو تربيع (-6 /2) أي 9.
   1. س² - 6 س 9= - 5 9
   2. س² - 6 س 9=4
   3. (س -3 ) ² = 4

1. خذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين: س - 3 = ± 2
2. حل المعادلة: (س - 3 ) = - 2 أو (س - 3) = 2
3. ومنه؛ س = 5/ س = 1
4. 5 , 1 تمثل حلولًا للدالة التربيعية.