أساسيات المنطق الرياضي
إن المنطق الرياضي بكافة تطوارته هو علمٌ ديناميكي متجددٌ يواكب العلم المعاصر، وما هو عليه الآن ما هو إلّا امتداد للمنطق التقليدي الأرسطي، ويتميز المنطق الرياضي الحديث عن المنطق التقليدي الأرسطي في إطارين رئيسين فضلاً عن كونه منطق قضايا لا حدود:
- مدى صلة المنطق بالرياضيات .
- استخدامه لأسلوب التدوين الرمزي.
حيث تكمن أهمية المنطق الرياضي بأنماط الاستدلالات الضرورية للرياضيات، بالإضافة لكونه ذا أهمية كبيرة لمختلف العلوم الاجتماعية والطبيعية، بالإضافة لكونه لا يمكن الاستغناء عنه كونه يسهل ويؤطر مسألة الانتقال من المقدمات إلى النتائج بدون تناقضات، وهذا جعل أمر الاستغناء عنه مستحيلاً في جميع فروع العلوم، كما أنه استطاع أن يطغى على المنطق التقليدي وزعزع قوانينه.
القواعد الأساسية للمنطق الرياضي
يرتكز المنطق الرياضي على 4 قواعد أساسية للنسق الرياضي وهي كما يأتي:
وتقوم قواعد التكوين بتحديد نوعين من الرموز الأولية التي تتكون منها القضايا وهما:
- الروابط المنطقية الأولية وتتمثل برابطة النفي ورابطة العطف ورابطة الفصل ورابطة اللزوم ورابطة التكافؤ.
- المتغيرات الأولية وَيُعبَر عنها من خلال الحروف الهجائية.
ويتم بناء القضايا وفقاً لهذه المتغيرات ويتم الربط فيما بينها من خلال الروابط المنطقية الأولية.
وَيُقصَد بها أن يتخذ الرمز الجديد نفس ما تعنيه مجموعة رموز سابقة ذات معنى معروف، وتتأتى أهميتها من إيضاحها لتكافؤ الصيَّغ المنطقي.
وهي بداية العمل ببرهنة النسق الاستنباطي وما يحويه، وتتصف بأنها صادقة دون الحاجة لبرهان أو إثبات، ويُشتَرَط بها أن تكون تامة وضرورية ومتوافقة مع بعضها البعض.
- قواعد التحويل (الاستدلال)
وهي المسؤولة عما نقوم به من إجراءات تجاه التعبيرات المنطقية، فيتكون عبارات تم رهانها وأخرى غير مبرهنة، وتعتمد على قاعدتين هما الإبدال والوضع بالوضع.
قواعد الاستنباط للمنطق الرياضي
ويعتمد الاستنباط في المنطق الرياضي على عددٍ من القواعد هي موضحة كما يأتي:
وهي قاعدة إرشادية استدلالية تعتمد عملية إدخال صيغ جديدة للقضايا.
وهي قاعدة تعتمد عملية إدخال تغييرات وصيغ جديدة عِوضَاً عن التعبيرات المركبة بحيث يكون هناك تكافؤ ما بين التعبير الأصلي والجديد.
وهي الركيزة الأساسية للاستنباط وتعتمد فكرة هذه القاعدة أنه في حال أن قضية اللزوم صادقة حيث ق تحتوي على ل، وكانت ق صادقة فإنه يمكن تأكيد ل.
نظريات المنطق الرياضي الأساسية
هنالك مجموعة كبيرة من العلاقات التي حللها المنطق الرياضي ووضع لها رموزاً محددة ودقيقة، بالإضافة للعديد من نظريات المنطق الرياضي وهي كما يأتي:
- نظرية حساب القضايا.
- نظرية حساب المحمول.
- نظرية دالة القضية.
- نظرية الفئات.
- نظرية العلاقات.
تطور أساسيات المنطق الرياضي
نشأ المنطق الرياضي في منتصف القرن 19، واستمر تطوره حتى وقتنا الحالي، ويعود السبب وراء ذلك علماء الرياضيات؛ حيث أنه في القرن 19 شعر علماء الرياضيات بضرورة إعادة صياغة وبناء أسس الرياضيات من جديد، وكان التوجه حينها أنه يمكن البناء ع المنطق التقليدي والذي هو منطق أرسطو وأتباعه، وفيما يأتي تلخيص جهود العلماء في التأسيس للمنطق الرياضي:
إسهامات العالم جورج بول
لجورج بول الفضل الكبير في التأسيس للمنطق الرياضي الحديث ويظهر هذا من خلال كتابه التحليل الرياضي الصادر بعام 1847م، ويُعتَبر نقطة انطلاق قادت للعديد من الإسهامات والتطورات في المنطق الرياضي، والتي أدت بدروها إلى إجماع علماء الرياضيات إلى المضي في عملية التطوير والإثراء العلمي.
إسهامات العالم فريجه
يعود الفضل للعالم فريجه في كونه أول من أطّرّ للمنطق؛ حيث أنه أول مَن وضع نظرية حساب القضايا وكافة النظريات الأخرى وجمعها في قالب النسق الاستنباطي الذي كان فريجه هو من أسس له، ويتكون هذا النسق من الأفكار الأولية والتعريفات والمصادرات والنظريات.
إسهامات العالمان هوايتهد ورَسل
في نهاية القرن التاسع عشر، بلغ تطور المنطقي ذروته؛ حيث تم مزج الرياضيات بالمنطق ، وذلك حينما أصدر رسل كتابه الأول باسم أصول الرياضيات كنتيجة لقراءته لمؤلفات بيانو، وتمكن خلال ذلك من استنباط أداة للتحليل المنطقي.
وكانت هذه نقطة انطلاق التعاون بينه وبين العالم هوايتهد لإصدار كتابهم المُسمَى مبادئ رياضية، وكان هذا النتاج ذا دور رئيسي في التطورات اللاحقة وصولاً للأنساق الاستدلالية الجديدة الأخرى.
